Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 86270 / 44798
↖ ↑ ↗
← N 49.385949°
E 56.947632°		 ← 198.78 m → N 49.385949°
E 56.950378°		 →
↑
198.84 m
↓
↑
198.84 m
↓
N 49.384161°
E 56.947632°		 ← 198.79 m →
39 526 m²		 N 49.384161°
E 56.950378°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 86270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44798 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.658191680908203 y=0.341785430908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.658191680908203 × 217)
    floor (0.658191680908203 × 131072)
    floor (86270.5)     		tx = 86270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341785430908203 × 217)
    floor (0.341785430908203 × 131072)
    floor (44798.5)     		ty = 44798
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 86270 / 44798 ti = "17/86270/44798"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/86270/44798.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 86270 ÷ 217
    86270 ÷ 131072     		x = 0.658187866210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44798 ÷ 217
    44798 ÷ 131072     		y = 0.341781616210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.658187866210938 × 2 - 1) × π
    0.316375732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.99392368
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341781616210938 × 2 - 1) × π
    0.316436767578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.994115424320725
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.99392368} λ = 0.99392368}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.994115424320725))-π/2
    2×atan(2.70233286578448)-π/2
    2×1.21637186833746-π/2
    2.43274373667493-1.57079632675     		φ = 0.86194741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.99392368} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.947632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86194741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.385949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 86270 KachelY 44798 0.99392368 0.86194741 56.947632 49.385949
    Oben rechts KachelX + 1 86271 KachelY 44798 0.99397161 0.86194741 56.950378 49.385949
    Unten links KachelX 86270 KachelY + 1 44799 0.99392368 0.86191620 56.947632 49.384161
    Unten rechts KachelX + 1 86271 KachelY + 1 44799 0.99397161 0.86191620 56.950378 49.384161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86194741-0.86191620) × R
    3.12099999999482e-05 × 6371000     		dl = 198.83890999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86194741-0.86191620) × R
    3.12099999999482e-05 × 6371000     		dr = 198.83890999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.99392368-0.99397161) × cos(0.86194741) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.65096040175807 × 6371000     		do = 198.778589730582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.99392368-0.99397161) × cos(0.86191620) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.65098409331682 × 6371000     		du = 198.785824233055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86194741)-sin(0.86191620))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65096040175807-0.65098409331682)×R²
    abs(0.99397161-0.99392368)×2.36915587500386e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36915587500386e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36915587500386e-05×40589641000000     		ar = 39525.6373666461m²