Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 86039 / 45075
↖ ↑ ↗
← N 48.888198°
E 56.313171°		 ← 200.83 m → N 48.888198°
E 56.315918°		 →
↑
200.81 m
↓
↑
200.81 m
↓
N 48.886392°
E 56.313171°		 ← 200.83 m →
40 330 m²		 N 48.886392°
E 56.315918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 86039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656429290771484 y=0.343898773193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656429290771484 × 217)
    floor (0.656429290771484 × 131072)
    floor (86039.5)     		tx = 86039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343898773193359 × 217)
    floor (0.343898773193359 × 131072)
    floor (45075.5)     		ty = 45075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 86039 / 45075 ti = "17/86039/45075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/86039/45075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 86039 ÷ 217
    86039 ÷ 131072     		x = 0.656425476074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45075 ÷ 217
    45075 ÷ 131072     		y = 0.343894958496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.656425476074219 × 2 - 1) × π
    0.312850952148438 × 3.1415926535     		Λ = 0.98285025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343894958496094 × 2 - 1) × π
    0.312210083007812 × 3.1415926535     		Φ = 0.980836903125969
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98285025} λ = 0.98285025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.980836903125969))-π/2
    2×atan(2.66668706704935)-π/2
    2×1.21202817162313-π/2
    2.42405634324626-1.57079632675     		φ = 0.85326002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98285025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.313171°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85326002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.888198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 86039 KachelY 45075 0.98285025 0.85326002 56.313171 48.888198
    Oben rechts KachelX + 1 86040 KachelY 45075 0.98289819 0.85326002 56.315918 48.888198
    Unten links KachelX 86039 KachelY + 1 45076 0.98285025 0.85322850 56.313171 48.886392
    Unten rechts KachelX + 1 86040 KachelY + 1 45076 0.98289819 0.85322850 56.315918 48.886392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85326002-0.85322850) × R
    3.15200000000626e-05 × 6371000     		dl = 200.813920000399m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85326002-0.85322850) × R
    3.15200000000626e-05 × 6371000     		dr = 200.813920000399m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98285025-0.98289819) × cos(0.85326002) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.657530454018469 × 6371000     		do = 200.826725490995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98285025-0.98289819) × cos(0.85322850) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.657554201741365 × 6371000     		du = 200.833978656834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85326002)-sin(0.85322850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657530454018469-0.657554201741365)×R²
    abs(0.98289819-0.98285025)×2.37477228963723e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37477228963723e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37477228963723e-05×40589641000000     		ar = 40329.530258401m²