Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 86014 / 45070
↖ ↑ ↗
← N 48.897227°
E 56.244507°		 ← 200.79 m → N 48.897227°
E 56.247254°		 →
↑
200.75 m
↓
↑
200.75 m
↓
N 48.895421°
E 56.244507°		 ← 200.80 m →
40 309 m²		 N 48.895421°
E 56.247254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 86014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45070 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656238555908203 y=0.343860626220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656238555908203 × 217)
    floor (0.656238555908203 × 131072)
    floor (86014.5)     		tx = 86014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343860626220703 × 217)
    floor (0.343860626220703 × 131072)
    floor (45070.5)     		ty = 45070
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 86014 / 45070 ti = "17/86014/45070"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/86014/45070.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 86014 ÷ 217
    86014 ÷ 131072     		x = 0.656234741210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45070 ÷ 217
    45070 ÷ 131072     		y = 0.343856811523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.656234741210938 × 2 - 1) × π
    0.312469482421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.98165183
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343856811523438 × 2 - 1) × π
    0.312286376953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.981076587624069
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98165183} λ = 0.98165183}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.981076587624069))-π/2
    2×atan(2.66732630720552)-π/2
    2×1.21210696443694-π/2
    2.42421392887387-1.57079632675     		φ = 0.85341760
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98165183} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.244507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85341760 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.897227°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 86014 KachelY 45070 0.98165183 0.85341760 56.244507 48.897227
    Oben rechts KachelX + 1 86015 KachelY 45070 0.98169977 0.85341760 56.247254 48.897227
    Unten links KachelX 86014 KachelY + 1 45071 0.98165183 0.85338609 56.244507 48.895421
    Unten rechts KachelX + 1 86015 KachelY + 1 45071 0.98169977 0.85338609 56.247254 48.895421
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85341760-0.85338609) × R
    3.15100000000124e-05 × 6371000     		dl = 200.750210000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85341760-0.85338609) × R
    3.15100000000124e-05 × 6371000     		dr = 200.750210000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98165183-0.98169977) × cos(0.85341760) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.657411720676141 × 6371000     		do = 200.790461272052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98165183-0.98169977) × cos(0.85338609) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.657435464129595 × 6371000     		du = 200.797713133893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85341760)-sin(0.85338609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657411720676141-0.657435464129595)×R²
    abs(0.98169977-0.98165183)×2.37434534542391e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37434534542391e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37434534542391e-05×40589641000000     		ar = 40309.455176118m²