Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 86012 / 45077
↖ ↑ ↗
← N 48.884585°
E 56.239014°		 ← 200.80 m → N 48.884585°
E 56.241760°		 →
↑
200.81 m
↓
↑
200.81 m
↓
N 48.882780°
E 56.239014°		 ← 200.81 m →
40 324 m²		 N 48.882780°
E 56.241760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 86012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45077 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656223297119141 y=0.343914031982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656223297119141 × 217)
    floor (0.656223297119141 × 131072)
    floor (86012.5)     		tx = 86012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343914031982422 × 217)
    floor (0.343914031982422 × 131072)
    floor (45077.5)     		ty = 45077
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 86012 / 45077 ti = "17/86012/45077"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/86012/45077.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 86012 ÷ 217
    86012 ÷ 131072     		x = 0.656219482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45077 ÷ 217
    45077 ÷ 131072     		y = 0.343910217285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.656219482421875 × 2 - 1) × π
    0.31243896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.98155596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343910217285156 × 2 - 1) × π
    0.312179565429688 × 3.1415926535     		Φ = 0.980741029326729
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98155596} λ = 0.98155596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.980741029326729))-π/2
    2×atan(2.66643141388426)-π/2
    2×1.21199665051322-π/2
    2.42399330102643-1.57079632675     		φ = 0.85319697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98155596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.239014°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85319697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.884585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 86012 KachelY 45077 0.98155596 0.85319697 56.239014 48.884585
    Oben rechts KachelX + 1 86013 KachelY 45077 0.98160389 0.85319697 56.241760 48.884585
    Unten links KachelX 86012 KachelY + 1 45078 0.98155596 0.85316545 56.239014 48.882780
    Unten rechts KachelX + 1 86013 KachelY + 1 45078 0.98160389 0.85316545 56.241760 48.882780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85319697-0.85316545) × R
    3.15200000000626e-05 × 6371000     		dl = 200.813920000399m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85319697-0.85316545) × R
    3.15200000000626e-05 × 6371000     		dr = 200.813920000399m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98155596-0.98160389) × cos(0.85319697) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.65757795634484 × 6371000     		do = 200.799339632835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98155596-0.98160389) × cos(0.85316545) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.657601702760932 × 6371000     		du = 200.806590886658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85319697)-sin(0.85316545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65757795634484-0.657601702760932)×R²
    abs(0.98160389-0.98155596)×2.37464160917078e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37464160917078e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37464160917078e-05×40589641000000     		ar = 40324.0306047414m²