Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 86011 / 45082
↖ ↑ ↗
← N 48.875555°
E 56.236267°		 ← 200.88 m → N 48.875555°
E 56.239014°		 →
↑
200.88 m
↓
↑
200.88 m
↓
N 48.873748°
E 56.236267°		 ← 200.88 m →
40 353 m²		 N 48.873748°
E 56.239014°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 86011 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656215667724609 y=0.343952178955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656215667724609 × 217)
    floor (0.656215667724609 × 131072)
    floor (86011.5)     		tx = 86011
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343952178955078 × 217)
    floor (0.343952178955078 × 131072)
    floor (45082.5)     		ty = 45082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 86011 / 45082 ti = "17/86011/45082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/86011/45082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 86011 ÷ 217
    86011 ÷ 131072     		x = 0.656211853027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45082 ÷ 217
    45082 ÷ 131072     		y = 0.343948364257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.656211853027344 × 2 - 1) × π
    0.312423706054688 × 3.1415926535     		Λ = 0.98150802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343948364257812 × 2 - 1) × π
    0.312103271484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.980501344828629
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98150802} λ = 0.98150802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.980501344828629))-π/2
    2×atan(2.66579238819444)-π/2
    2×1.21191783777712-π/2
    2.42383567555423-1.57079632675     		φ = 0.85303935
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98150802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.236267°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85303935 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.875555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 86011 KachelY 45082 0.98150802 0.85303935 56.236267 48.875555
    Oben rechts KachelX + 1 86012 KachelY 45082 0.98155596 0.85303935 56.239014 48.875555
    Unten links KachelX 86011 KachelY + 1 45083 0.98150802 0.85300782 56.236267 48.873748
    Unten rechts KachelX + 1 86012 KachelY + 1 45083 0.98155596 0.85300782 56.239014 48.873748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85303935-0.85300782) × R
    3.15300000000018e-05 × 6371000     		dl = 200.877630000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85303935-0.85300782) × R
    3.15300000000018e-05 × 6371000     		dr = 200.877630000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98150802-0.98155596) × cos(0.85303935) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.657696696957378 × 6371000     		do = 200.877500363631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98150802-0.98155596) × cos(0.85300782) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.65772044763877 × 6371000     		du = 200.884754433071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85303935)-sin(0.85300782))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657696696957378-0.65772044763877)×R²
    abs(0.98155596-0.98150802)×2.37506813915989e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37506813915989e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37506813915989e-05×40589641000000     		ar = 40352.5247868733m²