Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 86007 / 45095
↖ ↑ ↗
← N 48.852066°
E 56.225281°		 ← 200.97 m → N 48.852066°
E 56.228027°		 →
↑
200.94 m
↓
↑
200.94 m
↓
N 48.850258°
E 56.225281°		 ← 200.98 m →
40 384 m²		 N 48.850258°
E 56.228027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 86007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656185150146484 y=0.344051361083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656185150146484 × 217)
    floor (0.656185150146484 × 131072)
    floor (86007.5)     		tx = 86007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344051361083984 × 217)
    floor (0.344051361083984 × 131072)
    floor (45095.5)     		ty = 45095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 86007 / 45095 ti = "17/86007/45095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/86007/45095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 86007 ÷ 217
    86007 ÷ 131072     		x = 0.656181335449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45095 ÷ 217
    45095 ÷ 131072     		y = 0.344047546386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.656181335449219 × 2 - 1) × π
    0.312362670898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.98131627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344047546386719 × 2 - 1) × π
    0.311904907226562 × 3.1415926535     		Φ = 0.979878165133568
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98131627} λ = 0.98131627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.979878165133568))-π/2
    2×atan(2.6641316380335)-π/2
    2×1.21171285806093-π/2
    2.42342571612186-1.57079632675     		φ = 0.85262939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98131627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.225281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85262939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.852066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 86007 KachelY 45095 0.98131627 0.85262939 56.225281 48.852066
    Oben rechts KachelX + 1 86008 KachelY 45095 0.98136421 0.85262939 56.228027 48.852066
    Unten links KachelX 86007 KachelY + 1 45096 0.98131627 0.85259785 56.225281 48.850258
    Unten rechts KachelX + 1 86008 KachelY + 1 45096 0.98136421 0.85259785 56.228027 48.850258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85262939-0.85259785) × R
    3.15400000000521e-05 × 6371000     		dl = 200.941340000332m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85262939-0.85259785) × R
    3.15400000000521e-05 × 6371000     		dr = 200.941340000332m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98131627-0.98136421) × cos(0.85262939) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.65800545751803 × 6371000     		do = 200.971803786351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98131627-0.98136421) × cos(0.85259785) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.658029207225783 × 6371000     		du = 200.979057558416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85262939)-sin(0.85259785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65800545751803-0.658029207225783)×R²
    abs(0.98136421-0.98131627)×2.37497077535398e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37497077535398e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37497077535398e-05×40589641000000     		ar = 40384.2723498301m²