Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 86006 / 45086
↖ ↑ ↗
← N 48.868328°
E 56.222534°		 ← 200.86 m → N 48.868328°
E 56.225281°		 →
↑
200.94 m
↓
↑
200.94 m
↓
N 48.866521°
E 56.222534°		 ← 200.87 m →
40 363 m²		 N 48.866521°
E 56.225281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 86006 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656177520751953 y=0.343982696533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656177520751953 × 217)
    floor (0.656177520751953 × 131072)
    floor (86006.5)     		tx = 86006
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343982696533203 × 217)
    floor (0.343982696533203 × 131072)
    floor (45086.5)     		ty = 45086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 86006 / 45086 ti = "17/86006/45086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/86006/45086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 86006 ÷ 217
    86006 ÷ 131072     		x = 0.656173706054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45086 ÷ 217
    45086 ÷ 131072     		y = 0.343978881835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.656173706054688 × 2 - 1) × π
    0.312347412109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.98126834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343978881835938 × 2 - 1) × π
    0.312042236328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.980309597230148
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98126834} λ = 0.98126834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.980309597230148))-π/2
    2×atan(2.66528127790961)-π/2
    2×1.21185477734199-π/2
    2.42370955468398-1.57079632675     		φ = 0.85291323
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98126834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.222534°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85291323 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.868328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 86006 KachelY 45086 0.98126834 0.85291323 56.222534 48.868328
    Oben rechts KachelX + 1 86007 KachelY 45086 0.98131627 0.85291323 56.225281 48.868328
    Unten links KachelX 86006 KachelY + 1 45087 0.98126834 0.85288169 56.222534 48.866521
    Unten rechts KachelX + 1 86007 KachelY + 1 45087 0.98131627 0.85288169 56.225281 48.866521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85291323-0.85288169) × R
    3.15399999999411e-05 × 6371000     		dl = 200.941339999624m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85291323-0.85288169) × R
    3.15399999999411e-05 × 6371000     		dr = 200.941339999624m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98126834-0.98131627) × cos(0.85291323) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.657791695759649 × 6371000     		do = 200.864607534432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98126834-0.98131627) × cos(0.85288169) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.657815451357224 × 6371000     		du = 200.871861591931m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85291323)-sin(0.85288169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657791695759649-0.657815451357224)×R²
    abs(0.98131627-0.98126834)×2.3755597574282e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3755597574282e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3755597574282e-05×40589641000000     		ar = 40362.7322197505m²