Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 860 / 956
↖ ↑ ↗
← S 82.494824°
E122.343750°		 ← 5 106.02 m → S 82.494824°
E122.695313°		 →
↑
5 090.49 m
↓
↑
5 090.49 m
↓
S 82.540604°
E122.343750°		 ← 5 075.06 m →
25 913 358 m²		 S 82.540604°
E122.695313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.84033203125 y=0.93408203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.84033203125 × 210)
    floor (0.84033203125 × 1024)
    floor (860.5)     		tx = 860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.93408203125 × 210)
    floor (0.93408203125 × 1024)
    floor (956.5)     		ty = 956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 860 / 956 ti = "10/860/956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/860/956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 860 ÷ 210
    860 ÷ 1024     		x = 0.83984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 956 ÷ 210
    956 ÷ 1024     		y = 0.93359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.83984375 × 2 - 1) × π
    0.6796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.13530126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.93359375 × 2 - 1) × π
    -0.8671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.72434987920703
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.13530126} λ = 2.13530126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.72434987920703))-π/2
    2×atan(0.0655888295220959)-π/2
    2×0.0654950194636357-π/2
    0.130990038927271-1.57079632675     		φ = -1.43980629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.13530126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 122.343750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43980629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.494824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 860 KachelY 956 2.13530126 -1.43980629 122.343750 -82.494824
    Oben rechts KachelX + 1 861 KachelY 956 2.14143718 -1.43980629 122.695313 -82.494824
    Unten links KachelX 860 KachelY + 1 957 2.13530126 -1.44060530 122.343750 -82.540604
    Unten rechts KachelX + 1 861 KachelY + 1 957 2.14143718 -1.44060530 122.695313 -82.540604
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43980629--1.44060530) × R
    0.000799010000000155 × 6371000     		dl = 5090.49271000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43980629--1.44060530) × R
    0.000799010000000155 × 6371000     		dr = 5090.49271000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.13530126-2.14143718) × cos(-1.43980629) × R
    0.00613592000000018 × 0.130615761686591 × 6371000     		do = 5106.0243443983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.13530126-2.14143718) × cos(-1.44060530) × R
    0.00613592000000018 × 0.129823555143786 × 6371000     		du = 5075.05544875258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43980629)-sin(-1.44060530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.130615761686591-0.129823555143786)×R²
    abs(2.14143718-2.13530126)×0.000792206542805818×R²
    0.00613592000000018×0.000792206542805818×6371000²
    0.00613592000000018×0.000792206542805818×40589641000000     		ar = 25913357.6120923m²