Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 85998 / 45073
↖ ↑ ↗
← N 48.891809°
E 56.200562°		 ← 200.81 m → N 48.891809°
E 56.203308°		 →
↑
200.75 m
↓
↑
200.75 m
↓
N 48.890004°
E 56.200562°		 ← 200.82 m →
40 314 m²		 N 48.890004°
E 56.203308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85998 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656116485595703 y=0.343883514404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656116485595703 × 217)
    floor (0.656116485595703 × 131072)
    floor (85998.5)     		tx = 85998
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343883514404297 × 217)
    floor (0.343883514404297 × 131072)
    floor (45073.5)     		ty = 45073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85998 / 45073 ti = "17/85998/45073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85998/45073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85998 ÷ 217
    85998 ÷ 131072     		x = 0.656112670898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45073 ÷ 217
    45073 ÷ 131072     		y = 0.343879699707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.656112670898438 × 2 - 1) × π
    0.312225341796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.98088484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343879699707031 × 2 - 1) × π
    0.312240600585938 × 3.1415926535     		Φ = 0.980932776925209
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98088484} λ = 0.98088484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.980932776925209))-π/2
    2×atan(2.66694274472605)-π/2
    2×1.21205969045623-π/2
    2.42411938091246-1.57079632675     		φ = 0.85332305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98088484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.200562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85332305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.891809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85998 KachelY 45073 0.98088484 0.85332305 56.200562 48.891809
    Oben rechts KachelX + 1 85999 KachelY 45073 0.98093278 0.85332305 56.203308 48.891809
    Unten links KachelX 85998 KachelY + 1 45074 0.98088484 0.85329154 56.200562 48.890004
    Unten rechts KachelX + 1 85999 KachelY + 1 45074 0.98093278 0.85329154 56.203308 48.890004
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85332305-0.85329154) × R
    3.15100000000124e-05 × 6371000     		dl = 200.750210000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85332305-0.85329154) × R
    3.15100000000124e-05 × 6371000     		dr = 200.750210000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98088484-0.98093278) × cos(0.85332305) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.657482964147604 × 6371000     		do = 200.812220862044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98088484-0.98093278) × cos(0.85329154) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.657506705642309 × 6371000     		du = 200.819472125633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85332305)-sin(0.85329154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657482964147604-0.657506705642309)×R²
    abs(0.98093278-0.98088484)×2.37414947052983e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37414947052983e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37414947052983e-05×40589641000000     		ar = 40313.8233584183m²