Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85971 / 45067
↖ ↑ ↗
← N 48.902643°
E 56.126404°		 ← 200.77 m → N 48.902643°
E 56.129150°		 →
↑
200.75 m
↓
↑
200.75 m
↓
N 48.900838°
E 56.126404°		 ← 200.78 m →
40 305 m²		 N 48.900838°
E 56.129150°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.655910491943359 y=0.343837738037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.655910491943359 × 217)
    floor (0.655910491943359 × 131072)
    floor (85971.5)     		tx = 85971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343837738037109 × 217)
    floor (0.343837738037109 × 131072)
    floor (45067.5)     		ty = 45067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85971 / 45067 ti = "17/85971/45067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85971/45067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85971 ÷ 217
    85971 ÷ 131072     		x = 0.655906677246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45067 ÷ 217
    45067 ÷ 131072     		y = 0.343833923339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.655906677246094 × 2 - 1) × π
    0.311813354492188 × 3.1415926535     		Λ = 0.97959054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343833923339844 × 2 - 1) × π
    0.312332153320312 × 3.1415926535     		Φ = 0.981220398322929
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.97959054} λ = 0.97959054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.981220398322929))-π/2
    2×atan(2.66770992484935)-π/2
    2×1.21215423329504-π/2
    2.42430846659007-1.57079632675     		φ = 0.85351214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.97959054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.126404°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85351214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.902643°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85971 KachelY 45067 0.97959054 0.85351214 56.126404 48.902643
    Oben rechts KachelX + 1 85972 KachelY 45067 0.97963848 0.85351214 56.129150 48.902643
    Unten links KachelX 85971 KachelY + 1 45068 0.97959054 0.85348063 56.126404 48.900838
    Unten rechts KachelX + 1 85972 KachelY + 1 45068 0.97963848 0.85348063 56.129150 48.900838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85351214-0.85348063) × R
    3.15100000000124e-05 × 6371000     		dl = 200.750210000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85351214-0.85348063) × R
    3.15100000000124e-05 × 6371000     		dr = 200.750210000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.97959054-0.97963848) × cos(0.85351214) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.657340478863549 × 6371000     		do = 200.768702188722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.97959054-0.97963848) × cos(0.85348063) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.657364224275333 × 6371000     		du = 200.775954648688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85351214)-sin(0.85348063))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657340478863549-0.657364224275333)×R²
    abs(0.97963848-0.97959054)×2.37454117836267e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37454117836267e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37454117836267e-05×40589641000000     		ar = 40305.0870955699m²