Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85960 / 45049
↖ ↑ ↗
← N 48.935131°
E 56.096192°		 ← 200.60 m → N 48.935131°
E 56.098938°		 →
↑
200.62 m
↓
↑
200.62 m
↓
N 48.933326°
E 56.096192°		 ← 200.60 m →
40 245 m²		 N 48.933326°
E 56.098938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45049 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.655826568603516 y=0.343700408935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.655826568603516 × 217)
    floor (0.655826568603516 × 131072)
    floor (85960.5)     		tx = 85960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343700408935547 × 217)
    floor (0.343700408935547 × 131072)
    floor (45049.5)     		ty = 45049
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85960 / 45049 ti = "17/85960/45049"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85960/45049.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85960 ÷ 217
    85960 ÷ 131072     		x = 0.65582275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45049 ÷ 217
    45049 ÷ 131072     		y = 0.343696594238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65582275390625 × 2 - 1) × π
    0.3116455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.97906324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343696594238281 × 2 - 1) × π
    0.312606811523438 × 3.1415926535     		Φ = 0.98208326251609
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.97906324} λ = 0.97906324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.98208326251609))-π/2
    2×atan(2.67001278960813)-π/2
    2×1.21243773887626-π/2
    2.42487547775252-1.57079632675     		φ = 0.85407915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.97906324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.096192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85407915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.935131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85960 KachelY 45049 0.97906324 0.85407915 56.096192 48.935131
    Oben rechts KachelX + 1 85961 KachelY 45049 0.97911117 0.85407915 56.098938 48.935131
    Unten links KachelX 85960 KachelY + 1 45050 0.97906324 0.85404766 56.096192 48.933326
    Unten rechts KachelX + 1 85961 KachelY + 1 45050 0.97911117 0.85404766 56.098938 48.933326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85407915-0.85404766) × R
    3.14900000000229e-05 × 6371000     		dl = 200.622790000146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85407915-0.85404766) × R
    3.14900000000229e-05 × 6371000     		dr = 200.622790000146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.97906324-0.97911117) × cos(0.85407915) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.656913078043668 × 6371000     		do = 200.596311045086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.97906324-0.97911117) × cos(0.85404766) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.656936820117297 × 6371000     		du = 200.603560972886m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85407915)-sin(0.85404766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656913078043668-0.656936820117297)×R²
    abs(0.97911117-0.97906324)×2.37420736295402e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37420736295402e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37420736295402e-05×40589641000000     		ar = 40244.9188392046m²