Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85935 / 45040
↖ ↑ ↗
← N 48.951367°
E 56.027527°		 ← 200.53 m → N 48.951367°
E 56.030273°		 →
↑
200.56 m
↓
↑
200.56 m
↓
N 48.949563°
E 56.027527°		 ← 200.54 m →
40 219 m²		 N 48.949563°
E 56.030273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.655635833740234 y=0.343631744384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.655635833740234 × 217)
    floor (0.655635833740234 × 131072)
    floor (85935.5)     		tx = 85935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343631744384766 × 217)
    floor (0.343631744384766 × 131072)
    floor (45040.5)     		ty = 45040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85935 / 45040 ti = "17/85935/45040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85935/45040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85935 ÷ 217
    85935 ÷ 131072     		x = 0.655632019042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45040 ÷ 217
    45040 ÷ 131072     		y = 0.3436279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.655632019042969 × 2 - 1) × π
    0.311264038085938 × 3.1415926535     		Λ = 0.97786482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3436279296875 × 2 - 1) × π
    0.312744140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.982514694612671
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.97786482} λ = 0.97786482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.982514694612671))-π/2
    2×atan(2.67116496734921)-π/2
    2×1.21257942252242-π/2
    2.42515884504485-1.57079632675     		φ = 0.85436252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.97786482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.027527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85436252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.951367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85935 KachelY 45040 0.97786482 0.85436252 56.027527 48.951367
    Oben rechts KachelX + 1 85936 KachelY 45040 0.97791275 0.85436252 56.030273 48.951367
    Unten links KachelX 85935 KachelY + 1 45041 0.97786482 0.85433104 56.027527 48.949563
    Unten rechts KachelX + 1 85936 KachelY + 1 45041 0.97791275 0.85433104 56.030273 48.949563
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85436252-0.85433104) × R
    3.14799999999726e-05 × 6371000     		dl = 200.559079999826m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85436252-0.85433104) × R
    3.14799999999726e-05 × 6371000     		dr = 200.559079999826m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.97786482-0.97791275) × cos(0.85436252) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.656699400236557 × 6371000     		do = 200.53106195614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.97786482-0.97791275) × cos(0.85433104) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.656723140629868 × 6371000     		du = 200.538311370835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85436252)-sin(0.85433104))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656699400236557-0.656723140629868)×R²
    abs(0.97791275-0.97786482)×2.37403933108782e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37403933108782e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37403933108782e-05×40589641000000     		ar = 40219.0522685771m²