Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 859 / 1013
↖ ↑ ↗
← S 84.706049°
E121.992187°		 ← 3 606.84 m → S 84.706049°
E122.343750°		 →
↑
3 595.86 m
↓
↑
3 595.86 m
↓
S 84.738387°
E121.992187°		 ← 3 584.87 m →
12 930 186 m²		 S 84.738387°
E122.343750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.83935546875 y=0.98974609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.83935546875 × 210)
    floor (0.83935546875 × 1024)
    floor (859.5)     		tx = 859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.98974609375 × 210)
    floor (0.98974609375 × 1024)
    floor (1013.5)     		ty = 1013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 859 / 1013 ti = "10/859/1013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/859/1013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 859 ÷ 210
    859 ÷ 1024     		x = 0.8388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1013 ÷ 210
    1013 ÷ 1024     		y = 0.9892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8388671875 × 2 - 1) × π
    0.677734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.12916533
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9892578125 × 2 - 1) × π
    -0.978515625 × 3.1415926535     		Φ = -3.07409749883496
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.12916533} λ = 2.12916533}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-3.07409749883496))-π/2
    2×atan(0.0462313333916866)-π/2
    2×0.0461984382655465-π/2
    0.092396876531093-1.57079632675     		φ = -1.47839945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.12916533} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 121.992187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.47839945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -84.706049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 859 KachelY 1013 2.12916533 -1.47839945 121.992187 -84.706049
    Oben rechts KachelX + 1 860 KachelY 1013 2.13530126 -1.47839945 122.343750 -84.706049
    Unten links KachelX 859 KachelY + 1 1014 2.12916533 -1.47896386 121.992187 -84.738387
    Unten rechts KachelX + 1 860 KachelY + 1 1014 2.13530126 -1.47896386 122.343750 -84.738387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.47839945--1.47896386) × R
    0.00056440999999996 × 6371000     		dl = 3595.85610999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.47839945--1.47896386) × R
    0.00056440999999996 × 6371000     		dr = 3595.85610999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.12916533-2.13530126) × cos(-1.47839945) × R
    0.00613592999999968 × 0.0922654647300193 × 6371000     		do = 3606.84247264833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.12916533-2.13530126) × cos(-1.47896386) × R
    0.00613592999999968 × 0.0917034475860416 × 6371000     		du = 3584.87209281893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.47839945)-sin(-1.47896386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.0922654647300193-0.0917034475860416)×R²
    abs(2.13530126-2.12916533)×0.000562017143977647×R²
    0.00613592999999968×0.000562017143977647×6371000²
    0.00613592999999968×0.000562017143977647×40589641000000     		ar = 12930185.7240476m²