Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85864 / 44968
↖ ↑ ↗
← N 49.081062°
E 55.832520°		 ← 200.01 m → N 49.081062°
E 55.835266°		 →
↑
200.05 m
↓
↑
200.05 m
↓
N 49.079263°
E 55.832520°		 ← 200.02 m →
40 012 m²		 N 49.079263°
E 55.835266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.655094146728516 y=0.343082427978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.655094146728516 × 217)
    floor (0.655094146728516 × 131072)
    floor (85864.5)     		tx = 85864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343082427978516 × 217)
    floor (0.343082427978516 × 131072)
    floor (44968.5)     		ty = 44968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85864 / 44968 ti = "17/85864/44968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85864/44968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85864 ÷ 217
    85864 ÷ 131072     		x = 0.65509033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44968 ÷ 217
    44968 ÷ 131072     		y = 0.34307861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65509033203125 × 2 - 1) × π
    0.3101806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.97446130
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34307861328125 × 2 - 1) × π
    0.3138427734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.985966151385315
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.97446130} λ = 0.97446130}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.985966151385315))-π/2
    2×atan(2.68040030628513)-π/2
    2×1.21371123270525-π/2
    2.42742246541051-1.57079632675     		φ = 0.85662614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.97446130} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 55.832520°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85662614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.081062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85864 KachelY 44968 0.97446130 0.85662614 55.832520 49.081062
    Oben rechts KachelX + 1 85865 KachelY 44968 0.97450923 0.85662614 55.835266 49.081062
    Unten links KachelX 85864 KachelY + 1 44969 0.97446130 0.85659474 55.832520 49.079263
    Unten rechts KachelX + 1 85865 KachelY + 1 44969 0.97450923 0.85659474 55.835266 49.079263
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85662614-0.85659474) × R
    3.14000000000147e-05 × 6371000     		dl = 200.049400000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85662614-0.85659474) × R
    3.14000000000147e-05 × 6371000     		dr = 200.049400000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.97446130-0.97450923) × cos(0.85662614) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.654990604700638 × 6371000     		do = 200.009260682437m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.97446130-0.97450923) × cos(0.85659474) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.655014331380201 × 6371000     		du = 200.016505909473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85662614)-sin(0.85659474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654990604700638-0.655014331380201)×R²
    abs(0.97450923-0.97446130)×2.37266795634072e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37266795634072e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37266795634072e-05×40589641000000     		ar = 40012.4572989958m²