Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85804 / 44844
↖ ↑ ↗
← N 49.303636°
E 55.667725°		 ← 199.15 m → N 49.303636°
E 55.670471°		 →
↑
199.16 m
↓
↑
199.16 m
↓
N 49.301845°
E 55.667725°		 ← 199.16 m →
39 664 m²		 N 49.301845°
E 55.670471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.654636383056641 y=0.342136383056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.654636383056641 × 217)
    floor (0.654636383056641 × 131072)
    floor (85804.5)     		tx = 85804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342136383056641 × 217)
    floor (0.342136383056641 × 131072)
    floor (44844.5)     		ty = 44844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85804 / 44844 ti = "17/85804/44844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85804/44844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85804 ÷ 217
    85804 ÷ 131072     		x = 0.654632568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44844 ÷ 217
    44844 ÷ 131072     		y = 0.342132568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.654632568359375 × 2 - 1) × π
    0.30926513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.97158508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342132568359375 × 2 - 1) × π
    0.31573486328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.991910326938202
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.97158508} λ = 0.97158508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.991910326938202))-π/2
    2×atan(2.6963805238142)-π/2
    2×1.21565355201254-π/2
    2.43130710402509-1.57079632675     		φ = 0.86051078
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.97158508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 55.667725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86051078 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.303636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85804 KachelY 44844 0.97158508 0.86051078 55.667725 49.303636
    Oben rechts KachelX + 1 85805 KachelY 44844 0.97163302 0.86051078 55.670471 49.303636
    Unten links KachelX 85804 KachelY + 1 44845 0.97158508 0.86047952 55.667725 49.301845
    Unten rechts KachelX + 1 85805 KachelY + 1 44845 0.97163302 0.86047952 55.670471 49.301845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86051078-0.86047952) × R
    3.12599999999774e-05 × 6371000     		dl = 199.157459999856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86051078-0.86047952) × R
    3.12599999999774e-05 × 6371000     		dr = 199.157459999856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.97158508-0.97163302) × cos(0.86051078) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.652050292247379 × 6371000     		do = 199.152943026741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.97158508-0.97163302) × cos(0.86047952) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.652073992501671 × 6371000     		du = 199.160181694447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86051078)-sin(0.86047952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652050292247379-0.652073992501671)×R²
    abs(0.97163302-0.97158508)×2.37002542915477e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37002542915477e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37002542915477e-05×40589641000000     		ar = 39663.5151052652m²