Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85801 / 44841
↖ ↑ ↗
← N 49.309008°
E 55.659485°		 ← 199.13 m → N 49.309008°
E 55.662232°		 →
↑
199.09 m
↓
↑
199.09 m
↓
N 49.307217°
E 55.659485°		 ← 199.14 m →
39 647 m²		 N 49.307217°
E 55.662232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85801 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44841 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.654613494873047 y=0.342113494873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.654613494873047 × 217)
    floor (0.654613494873047 × 131072)
    floor (85801.5)     		tx = 85801
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342113494873047 × 217)
    floor (0.342113494873047 × 131072)
    floor (44841.5)     		ty = 44841
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85801 / 44841 ti = "17/85801/44841"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85801/44841.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85801 ÷ 217
    85801 ÷ 131072     		x = 0.654609680175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44841 ÷ 217
    44841 ÷ 131072     		y = 0.342109680175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.654609680175781 × 2 - 1) × π
    0.309219360351562 × 3.1415926535     		Λ = 0.97144127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342109680175781 × 2 - 1) × π
    0.315780639648438 × 3.1415926535     		Φ = 0.992054137637062
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.97144127} λ = 0.97144127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.992054137637062))-π/2
    2×atan(2.69676832006568)-π/2
    2×1.21570043536075-π/2
    2.43140087072151-1.57079632675     		φ = 0.86060454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.97144127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 55.659485°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86060454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.309008°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85801 KachelY 44841 0.97144127 0.86060454 55.659485 49.309008
    Oben rechts KachelX + 1 85802 KachelY 44841 0.97148921 0.86060454 55.662232 49.309008
    Unten links KachelX 85801 KachelY + 1 44842 0.97144127 0.86057329 55.659485 49.307217
    Unten rechts KachelX + 1 85802 KachelY + 1 44842 0.97148921 0.86057329 55.662232 49.307217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86060454-0.86057329) × R
    3.12499999999272e-05 × 6371000     		dl = 199.093749999536m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86060454-0.86057329) × R
    3.12499999999272e-05 × 6371000     		dr = 199.093749999536m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.97144127-0.97148921) × cos(0.86060454) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.651979202826281 × 6371000     		do = 199.131230487696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.97144127-0.97148921) × cos(0.86057329) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.652002897409457 × 6371000     		du = 199.138467423297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86060454)-sin(0.86057329))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651979202826281-0.652002897409457)×R²
    abs(0.97148921-0.97144127)×2.36945831760815e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36945831760815e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36945831760815e-05×40589641000000     		ar = 39646.5038373695m²