Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85798 / 44830
↖ ↑ ↗
← N 49.328702°
E 55.651245°		 ← 199.05 m → N 49.328702°
E 55.653992°		 →
↑
199.03 m
↓
↑
199.03 m
↓
N 49.326912°
E 55.651245°		 ← 199.06 m →
39 618 m²		 N 49.326912°
E 55.653992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85798 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.654590606689453 y=0.342029571533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.654590606689453 × 217)
    floor (0.654590606689453 × 131072)
    floor (85798.5)     		tx = 85798
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342029571533203 × 217)
    floor (0.342029571533203 × 131072)
    floor (44830.5)     		ty = 44830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85798 / 44830 ti = "17/85798/44830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85798/44830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85798 ÷ 217
    85798 ÷ 131072     		x = 0.654586791992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44830 ÷ 217
    44830 ÷ 131072     		y = 0.342025756835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.654586791992188 × 2 - 1) × π
    0.309173583984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.97129746
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342025756835938 × 2 - 1) × π
    0.315948486328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.992581443532883
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.97129746} λ = 0.97129746}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.992581443532883))-π/2
    2×atan(2.69819071688667)-π/2
    2×1.21587229723595-π/2
    2.4317445944719-1.57079632675     		φ = 0.86094827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.97129746} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 55.651245°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86094827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.328702°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85798 KachelY 44830 0.97129746 0.86094827 55.651245 49.328702
    Oben rechts KachelX + 1 85799 KachelY 44830 0.97134540 0.86094827 55.653992 49.328702
    Unten links KachelX 85798 KachelY + 1 44831 0.97129746 0.86091703 55.651245 49.326912
    Unten rechts KachelX + 1 85799 KachelY + 1 44831 0.97134540 0.86091703 55.653992 49.326912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86094827-0.86091703) × R
    3.12399999999879e-05 × 6371000     		dl = 199.030039999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86094827-0.86091703) × R
    3.12399999999879e-05 × 6371000     		dr = 199.030039999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.97129746-0.97134540) × cos(0.86094827) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.651718535563556 × 6371000     		do = 199.051615996546m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.97129746-0.97134540) × cos(0.86091703) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.65174222956433 × 6371000     		du = 199.058852754266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86094827)-sin(0.86091703))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651718535563556-0.65174222956433)×R²
    abs(0.97134540-0.97129746)×2.36940007733999e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.36940007733999e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.36940007733999e-05×40589641000000     		ar = 39617.9712630462m²