Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 85795 / 44835
↖ ↑ ↗
← N 49.319752°
E 55.643005°		 ← 199.09 m → N 49.319752°
E 55.645752°		 →
↑
199.09 m
↓
↑
199.09 m
↓
N 49.317961°
E 55.643005°		 ← 199.10 m →
39 638 m²		 N 49.317961°
E 55.645752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85795 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44835 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.654567718505859 y=0.342067718505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.654567718505859 × 217)
    floor (0.654567718505859 × 131072)
    floor (85795.5)     		tx = 85795
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342067718505859 × 217)
    floor (0.342067718505859 × 131072)
    floor (44835.5)     		ty = 44835
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85795 / 44835 ti = "17/85795/44835"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85795/44835.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85795 ÷ 217
    85795 ÷ 131072     		x = 0.654563903808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44835 ÷ 217
    44835 ÷ 131072     		y = 0.342063903808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.654563903808594 × 2 - 1) × π
    0.309127807617188 × 3.1415926535     		Λ = 0.97115365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342063903808594 × 2 - 1) × π
    0.315872192382812 × 3.1415926535     		Φ = 0.992341759034782
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.97115365} λ = 0.97115365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.992341759034782))-π/2
    2×atan(2.69754407989644)-π/2
    2×1.21579418672132-π/2
    2.43158837344263-1.57079632675     		φ = 0.86079205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.97115365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 55.643005°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86079205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.319752°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85795 KachelY 44835 0.97115365 0.86079205 55.643005 49.319752
    Oben rechts KachelX + 1 85796 KachelY 44835 0.97120159 0.86079205 55.645752 49.319752
    Unten links KachelX 85795 KachelY + 1 44836 0.97115365 0.86076080 55.643005 49.317961
    Unten rechts KachelX + 1 85796 KachelY + 1 44836 0.97120159 0.86076080 55.645752 49.317961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86079205-0.86076080) × R
    3.12500000000382e-05 × 6371000     		dl = 199.093750000243m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86079205-0.86076080) × R
    3.12500000000382e-05 × 6371000     		dr = 199.093750000243m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.97115365-0.97120159) × cos(0.86079205) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.651837014373776 × 6371000     		do = 199.087802474371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.97115365-0.97120159) × cos(0.86076080) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.651860712777 × 6371000     		du = 199.095040576712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86079205)-sin(0.86076080))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651837014373776-0.651860712777)×R²
    abs(0.97120159-0.97115365)×2.369840322336e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.369840322336e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.369840322336e-05×40589641000000     		ar = 39637.8577076453m²