Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85792 / 44836
↖ ↑ ↗
← N 49.317961°
E 55.634766°		 ← 199.10 m → N 49.317961°
E 55.637512°		 →
↑
199.09 m
↓
↑
199.09 m
↓
N 49.316171°
E 55.634766°		 ← 199.10 m →
39 639 m²		 N 49.316171°
E 55.637512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.654544830322266 y=0.342075347900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.654544830322266 × 217)
    floor (0.654544830322266 × 131072)
    floor (85792.5)     		tx = 85792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342075347900391 × 217)
    floor (0.342075347900391 × 131072)
    floor (44836.5)     		ty = 44836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85792 / 44836 ti = "17/85792/44836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85792/44836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85792 ÷ 217
    85792 ÷ 131072     		x = 0.654541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44836 ÷ 217
    44836 ÷ 131072     		y = 0.342071533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.654541015625 × 2 - 1) × π
    0.30908203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.97100984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342071533203125 × 2 - 1) × π
    0.31585693359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.992293822135162
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.97100984} λ = 0.97100984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.992293822135162))-π/2
    2×atan(2.69741477109602)-π/2
    2×1.21577856291451-π/2
    2.43155712582902-1.57079632675     		φ = 0.86076080
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.97100984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 55.634766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86076080 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.317961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85792 KachelY 44836 0.97100984 0.86076080 55.634766 49.317961
    Oben rechts KachelX + 1 85793 KachelY 44836 0.97105778 0.86076080 55.637512 49.317961
    Unten links KachelX 85792 KachelY + 1 44837 0.97100984 0.86072955 55.634766 49.316171
    Unten rechts KachelX + 1 85793 KachelY + 1 44837 0.97105778 0.86072955 55.637512 49.316171
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86076080-0.86072955) × R
    3.12500000000382e-05 × 6371000     		dl = 199.093750000243m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86076080-0.86072955) × R
    3.12500000000382e-05 × 6371000     		dr = 199.093750000243m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.97100984-0.97105778) × cos(0.86076080) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.651860712777 × 6371000     		do = 199.095040576712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.97100984-0.97105778) × cos(0.86072955) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.65188441054364 × 6371000     		du = 199.102278484625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86076080)-sin(0.86072955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651860712777-0.65188441054364)×R²
    abs(0.97105778-0.97100984)×2.36977666406846e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36977666406846e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36977666406846e-05×40589641000000     		ar = 39639.2987492492m²