Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85759 / 46849
↖ ↑ ↗
← N 45.581367°
E 55.544128°		 ← 213.77 m → N 45.581367°
E 55.546875°		 →
↑
213.75 m
↓
↑
213.75 m
↓
N 45.579445°
E 55.544128°		 ← 213.77 m →
45 693 m²		 N 45.579445°
E 55.546875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85759 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.654293060302734 y=0.357433319091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.654293060302734 × 217)
    floor (0.654293060302734 × 131072)
    floor (85759.5)     		tx = 85759
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.357433319091797 × 217)
    floor (0.357433319091797 × 131072)
    floor (46849.5)     		ty = 46849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85759 / 46849 ti = "17/85759/46849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85759/46849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85759 ÷ 217
    85759 ÷ 131072     		x = 0.654289245605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46849 ÷ 217
    46849 ÷ 131072     		y = 0.357429504394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.654289245605469 × 2 - 1) × π
    0.308578491210938 × 3.1415926535     		Λ = 0.96942792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.357429504394531 × 2 - 1) × π
    0.285140991210938 × 3.1415926535     		Φ = 0.895796843199989
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.96942792} λ = 0.96942792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.895796843199989))-π/2
    2×atan(2.4492867095297)-π/2
    2×1.18317063332838-π/2
    2.36634126665677-1.57079632675     		φ = 0.79554494
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.96942792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 55.544128°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79554494 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.581367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85759 KachelY 46849 0.96942792 0.79554494 55.544128 45.581367
    Oben rechts KachelX + 1 85760 KachelY 46849 0.96947586 0.79554494 55.546875 45.581367
    Unten links KachelX 85759 KachelY + 1 46850 0.96942792 0.79551139 55.544128 45.579445
    Unten rechts KachelX + 1 85760 KachelY + 1 46850 0.96947586 0.79551139 55.546875 45.579445
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79554494-0.79551139) × R
    3.35499999999378e-05 × 6371000     		dl = 213.747049999604m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79554494-0.79551139) × R
    3.35499999999378e-05 × 6371000     		dr = 213.747049999604m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.96942792-0.96947586) × cos(0.79554494) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.699895649249279 × 6371000     		do = 213.766146594601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.96942792-0.96947586) × cos(0.79551139) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.699919611778884 × 6371000     		du = 213.773465367938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79554494)-sin(0.79551139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.699895649249279-0.699919611778884)×R²
    abs(0.96947586-0.96942792)×2.39625296043489e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39625296043489e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39625296043489e-05×40589641000000     		ar = 45692.6654117046m²