Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8567 / 8153
↖ ↑ ↗
← N  0.856902°
E  8.239746°		 ← 2 442.94 m → N  0.856902°
E  8.261719°		 →
↑
2 443.02 m
↓
↑
2 443.02 m
↓
N  0.834931°
E  8.239746°		 ← 2 442.96 m →
5 968 181 m²		 N  0.834931°
E  8.261719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522918701171875 y=0.497650146484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522918701171875 × 214)
    floor (0.522918701171875 × 16384)
    floor (8567.5)     		tx = 8567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.497650146484375 × 214)
    floor (0.497650146484375 × 16384)
    floor (8153.5)     		ty = 8153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8567 / 8153 ti = "14/8567/8153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8567/8153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8567 ÷ 214
    8567 ÷ 16384     		x = 0.52288818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8153 ÷ 214
    8153 ÷ 16384     		y = 0.49761962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52288818359375 × 2 - 1) × π
    0.0457763671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14381070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49761962890625 × 2 - 1) × π
    0.0047607421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0149563126814575
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14381070} λ = 0.14381070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0149563126814575))-π/2
    2×atan(1.01506871801661)-π/2
    2×0.792876040954029-π/2
    1.58575208190806-1.57079632675     		φ = 0.01495576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14381070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.239746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.01495576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.856902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8567 KachelY 8153 0.14381070 0.01495576 8.239746 0.856902
    Oben rechts KachelX + 1 8568 KachelY 8153 0.14419419 0.01495576 8.261719 0.856902
    Unten links KachelX 8567 KachelY + 1 8154 0.14381070 0.01457230 8.239746 0.834931
    Unten rechts KachelX + 1 8568 KachelY + 1 8154 0.14419419 0.01457230 8.261719 0.834931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.01495576-0.01457230) × R
    0.00038346 × 6371000     		dl = 2443.02366m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.01495576-0.01457230) × R
    0.00038346 × 6371000     		dr = 2443.02366m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14381070-0.14419419) × cos(0.01495576) × R
    0.000383489999999986 × 0.999888164705996 × 6371000     		do = 2442.94155235556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14381070-0.14419419) × cos(0.01457230) × R
    0.000383489999999986 × 0.999893825915231 × 6371000     		du = 2442.95538390569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.01495576)-sin(0.01457230))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999888164705996-0.999893825915231)×R²
    abs(0.14419419-0.14381070)×5.66120923539692e-06×R²
    0.000383489999999986×5.66120923539692e-06×6371000²
    0.000383489999999986×5.66120923539692e-06×40589641000000     		ar = 5968180.98093477m²