Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8564 / 8145
↖ ↑ ↗
← N  1.032659°
E  8.173828°		 ← 2 442.88 m → N  1.032659°
E  8.195801°		 →
↑
2 442.90 m
↓
↑
2 442.90 m
↓
N  1.010690°
E  8.173828°		 ← 2 442.90 m →
5 967 727 m²		 N  1.010690°
E  8.195801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522735595703125 y=0.497161865234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522735595703125 × 214)
    floor (0.522735595703125 × 16384)
    floor (8564.5)     		tx = 8564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.497161865234375 × 214)
    floor (0.497161865234375 × 16384)
    floor (8145.5)     		ty = 8145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8564 / 8145 ti = "14/8564/8145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8564/8145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8564 ÷ 214
    8564 ÷ 16384     		x = 0.522705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8145 ÷ 214
    8145 ÷ 16384     		y = 0.49713134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522705078125 × 2 - 1) × π
    0.04541015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14266021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49713134765625 × 2 - 1) × π
    0.0057373046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0180242742571411
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14266021} λ = 0.14266021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0180242742571411))-π/2
    2×atan(1.01818769183967)-π/2
    2×0.79440981259678-π/2
    1.58881962519356-1.57079632675     		φ = 0.01802330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14266021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.173828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.01802330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.032659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8564 KachelY 8145 0.14266021 0.01802330 8.173828 1.032659
    Oben rechts KachelX + 1 8565 KachelY 8145 0.14304371 0.01802330 8.195801 1.032659
    Unten links KachelX 8564 KachelY + 1 8146 0.14266021 0.01763986 8.173828 1.010690
    Unten rechts KachelX + 1 8565 KachelY + 1 8146 0.14304371 0.01763986 8.195801 1.010690
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.01802330-0.01763986) × R
    0.000383439999999999 × 6371000     		dl = 2442.89623999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.01802330-0.01763986) × R
    0.000383439999999999 × 6371000     		dr = 2442.89623999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14266021-0.14304371) × cos(0.01802330) × R
    0.000383499999999981 × 0.999837584725199 × 6371000     		do = 2442.88167425089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14266021-0.14304371) × cos(0.01763986) × R
    0.000383499999999981 × 0.999844421703859 × 6371000     		du = 2442.89837889385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.01802330)-sin(0.01763986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999837584725199-0.999844421703859)×R²
    abs(0.14304371-0.14266021)×6.83697865955235e-06×R²
    0.000383499999999981×6.83697865955235e-06×6371000²
    0.000383499999999981×6.83697865955235e-06×40589641000000     		ar = 5967726.93376483m²