Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 856 / 969
↖ ↑ ↗
← S 83.068774°
E120.937500°		 ← 4 717.54 m → S 83.068774°
E121.289063°		 →
↑
4 703.20 m
↓
↑
4 703.20 m
↓
S 83.111071°
E120.937500°		 ← 4 688.89 m →
22 120 165 m²		 S 83.111071°
E121.289063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 969 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.83642578125 y=0.94677734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.83642578125 × 210)
    floor (0.83642578125 × 1024)
    floor (856.5)     		tx = 856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.94677734375 × 210)
    floor (0.94677734375 × 1024)
    floor (969.5)     		ty = 969
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 856 / 969 ti = "10/856/969"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/856/969.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 856 ÷ 210
    856 ÷ 1024     		x = 0.8359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 969 ÷ 210
    969 ÷ 1024     		y = 0.9462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8359375 × 2 - 1) × π
    0.671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.11075756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9462890625 × 2 - 1) × π
    -0.892578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.8041168801748
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.11075756} λ = 2.11075756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.8041168801748))-π/2
    2×atan(0.060560229503343)-π/2
    2×0.0604863562789505-π/2
    0.120972712557901-1.57079632675     		φ = -1.44982361
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.11075756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 120.937500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44982361 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -83.068774°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 856 KachelY 969 2.11075756 -1.44982361 120.937500 -83.068774
    Oben rechts KachelX + 1 857 KachelY 969 2.11689349 -1.44982361 121.289063 -83.068774
    Unten links KachelX 856 KachelY + 1 970 2.11075756 -1.45056183 120.937500 -83.111071
    Unten rechts KachelX + 1 857 KachelY + 1 970 2.11689349 -1.45056183 121.289063 -83.111071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44982361--1.45056183) × R
    0.000738220000000123 × 6371000     		dl = 4703.19962000078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44982361--1.45056183) × R
    0.000738220000000123 × 6371000     		dr = 4703.19962000078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.11075756-2.11689349) × cos(-1.44982361) × R
    0.00613592999999968 × 0.12067787213632 × 6371000     		do = 4717.54058795185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.11075756-2.11689349) × cos(-1.45056183) × R
    0.00613592999999968 × 0.119945014438427 × 6371000     		du = 4688.89170747524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44982361)-sin(-1.45056183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.12067787213632-0.119945014438427)×R²
    abs(2.11689349-2.11075756)×0.000732857697893427×R²
    0.00613592999999968×0.000732857697893427×6371000²
    0.00613592999999968×0.000732857697893427×40589641000000     		ar = 22120165.4032627m²