Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8558 / 8174
↖ ↑ ↗
← N  0.395505°
E  8.041992°		 ← 2 443.22 m → N  0.395505°
E  8.063965°		 →
↑
2 443.21 m
↓
↑
2 443.21 m
↓
N  0.373532°
E  8.041992°		 ← 2 443.23 m →
5 969 320 m²		 N  0.373532°
E  8.063965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8558 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8174 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522369384765625 y=0.498931884765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522369384765625 × 214)
    floor (0.522369384765625 × 16384)
    floor (8558.5)     		tx = 8558
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.498931884765625 × 214)
    floor (0.498931884765625 × 16384)
    floor (8174.5)     		ty = 8174
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8558 / 8174 ti = "14/8558/8174"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8558/8174.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8558 ÷ 214
    8558 ÷ 16384     		x = 0.5223388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8174 ÷ 214
    8174 ÷ 16384     		y = 0.4989013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5223388671875 × 2 - 1) × π
    0.044677734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14035924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4989013671875 × 2 - 1) × π
    0.002197265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.00690291354528809
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14035924} λ = 0.14035924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00690291354528809))-π/2
    2×atan(1.00692679356862)-π/2
    2×0.788849592759976-π/2
    1.57769918551995-1.57079632675     		φ = 0.00690286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14035924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.041992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00690286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.395505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8558 KachelY 8174 0.14035924 0.00690286 8.041992 0.395505
    Oben rechts KachelX + 1 8559 KachelY 8174 0.14074274 0.00690286 8.063965 0.395505
    Unten links KachelX 8558 KachelY + 1 8175 0.14035924 0.00651937 8.041992 0.373532
    Unten rechts KachelX + 1 8559 KachelY + 1 8175 0.14074274 0.00651937 8.063965 0.373532
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00690286-0.00651937) × R
    0.00038349 × 6371000     		dl = 2443.21479m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00690286-0.00651937) × R
    0.00038349 × 6371000     		dr = 2443.21479m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14035924-0.14074274) × cos(0.00690286) × R
    0.000383500000000009 × 0.999976175356513 × 6371000     		do = 2443.22028976085m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14035924-0.14074274) × cos(0.00651937) × R
    0.000383500000000009 × 0.99997874898267 × 6371000     		du = 2443.22657784631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00690286)-sin(0.00651937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999976175356513-0.99997874898267)×R²
    abs(0.14074274-0.14035924)×2.57362615652124e-06×R²
    0.000383500000000009×2.57362615652124e-06×6371000²
    0.000383500000000009×2.57362615652124e-06×40589641000000     		ar = 5969319.70189979m²