Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85552 / 46640
↖ ↑ ↗
← N 45.981695°
E 54.975586°		 ← 212.24 m → N 45.981695°
E 54.978333°		 →
↑
212.22 m
↓
↑
212.22 m
↓
N 45.979787°
E 54.975586°		 ← 212.24 m →
45 041 m²		 N 45.979787°
E 54.978333°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.652713775634766 y=0.355838775634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.652713775634766 × 217)
    floor (0.652713775634766 × 131072)
    floor (85552.5)     		tx = 85552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.355838775634766 × 217)
    floor (0.355838775634766 × 131072)
    floor (46640.5)     		ty = 46640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85552 / 46640 ti = "17/85552/46640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85552/46640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85552 ÷ 217
    85552 ÷ 131072     		x = 0.6527099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46640 ÷ 217
    46640 ÷ 131072     		y = 0.3558349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6527099609375 × 2 - 1) × π
    0.305419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.95950498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3558349609375 × 2 - 1) × π
    0.288330078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.905815655220581
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.95950498} λ = 0.95950498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.905815655220581))-π/2
    2×atan(2.47394898973909)-π/2
    2×1.18666415170286-π/2
    2.37332830340571-1.57079632675     		φ = 0.80253198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.95950498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.975586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80253198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.981695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85552 KachelY 46640 0.95950498 0.80253198 54.975586 45.981695
    Oben rechts KachelX + 1 85553 KachelY 46640 0.95955292 0.80253198 54.978333 45.981695
    Unten links KachelX 85552 KachelY + 1 46641 0.95950498 0.80249867 54.975586 45.979787
    Unten rechts KachelX + 1 85553 KachelY + 1 46641 0.95955292 0.80249867 54.978333 45.979787
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80253198-0.80249867) × R
    3.33100000000641e-05 × 6371000     		dl = 212.218010000409m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80253198-0.80249867) × R
    3.33100000000641e-05 × 6371000     		dr = 212.218010000409m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.95950498-0.95955292) × cos(0.80253198) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.694888146747612 × 6371000     		do = 212.23672643797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.95950498-0.95955292) × cos(0.80249867) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.69491210017725 × 6371000     		du = 212.244042431943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80253198)-sin(0.80249867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.694888146747612-0.69491210017725)×R²
    abs(0.95955292-0.95950498)×2.39534296377908e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39534296377908e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39534296377908e-05×40589641000000     		ar = 45041.2320306103m²