Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85521 / 46608
↖ ↑ ↗
← N 46.042735°
E 54.890442°		 ← 212 m → N 46.042735°
E 54.893189°		 →
↑
211.96 m
↓
↑
211.96 m
↓
N 46.040829°
E 54.890442°		 ← 212.01 m →
44 938 m²		 N 46.040829°
E 54.893189°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.652477264404297 y=0.355594635009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.652477264404297 × 217)
    floor (0.652477264404297 × 131072)
    floor (85521.5)     		tx = 85521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.355594635009766 × 217)
    floor (0.355594635009766 × 131072)
    floor (46608.5)     		ty = 46608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85521 / 46608 ti = "17/85521/46608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85521/46608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85521 ÷ 217
    85521 ÷ 131072     		x = 0.652473449707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46608 ÷ 217
    46608 ÷ 131072     		y = 0.3555908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.652473449707031 × 2 - 1) × π
    0.304946899414062 × 3.1415926535     		Λ = 0.95801894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3555908203125 × 2 - 1) × π
    0.288818359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.907349636008423
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.95801894} λ = 0.95801894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.907349636008423))-π/2
    2×atan(2.4777468921694)-π/2
    2×1.18719683028095-π/2
    2.3743936605619-1.57079632675     		φ = 0.80359733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.95801894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.890442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80359733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.042735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85521 KachelY 46608 0.95801894 0.80359733 54.890442 46.042735
    Oben rechts KachelX + 1 85522 KachelY 46608 0.95806688 0.80359733 54.893189 46.042735
    Unten links KachelX 85521 KachelY + 1 46609 0.95801894 0.80356406 54.890442 46.040829
    Unten rechts KachelX + 1 85522 KachelY + 1 46609 0.95806688 0.80356406 54.893189 46.040829
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80359733-0.80356406) × R
    3.32699999999742e-05 × 6371000     		dl = 211.963169999835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80359733-0.80356406) × R
    3.32699999999742e-05 × 6371000     		dr = 211.963169999835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.95801894-0.95806688) × cos(0.80359733) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.694121640366091 × 6371000     		do = 212.002615658688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.95801894-0.95806688) × cos(0.80356406) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.694145589648534 × 6371000     		du = 212.009930386001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80359733)-sin(0.80356406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.694121640366091-0.694145589648534)×R²
    abs(0.95806688-0.95801894)×2.39492824426479e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39492824426479e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39492824426479e-05×40589641000000     		ar = 44937.5216939291m²