Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 855 / 967
↖ ↑ ↗
← S 82.983404°
E120.585937°		 ← 4 775.35 m → S 82.983404°
E120.937500°		 →
↑
4 760.79 m
↓
↑
4 760.79 m
↓
S 83.026219°
E120.585937°		 ← 4 746.35 m →
22 665 431 m²		 S 83.026219°
E120.937500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.83544921875 y=0.94482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.83544921875 × 210)
    floor (0.83544921875 × 1024)
    floor (855.5)     		tx = 855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.94482421875 × 210)
    floor (0.94482421875 × 1024)
    floor (967.5)     		ty = 967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 855 / 967 ti = "10/855/967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/855/967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 855 ÷ 210
    855 ÷ 1024     		x = 0.8349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 967 ÷ 210
    967 ÷ 1024     		y = 0.9443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8349609375 × 2 - 1) × π
    0.669921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.10462164
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9443359375 × 2 - 1) × π
    -0.888671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.79184503387207
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.10462164} λ = 2.10462164}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.79184503387207))-π/2
    2×atan(0.0613079941741098)-π/2
    2×0.0612313547614921-π/2
    0.122462709522984-1.57079632675     		φ = -1.44833362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.10462164} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 120.585937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44833362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.983404°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 855 KachelY 967 2.10462164 -1.44833362 120.585937 -82.983404
    Oben rechts KachelX + 1 856 KachelY 967 2.11075756 -1.44833362 120.937500 -82.983404
    Unten links KachelX 855 KachelY + 1 968 2.10462164 -1.44908088 120.585937 -83.026219
    Unten rechts KachelX + 1 856 KachelY + 1 968 2.11075756 -1.44908088 120.937500 -83.026219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44833362--1.44908088) × R
    0.000747259999999805 × 6371000     		dl = 4760.79345999876m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44833362--1.44908088) × R
    0.000747259999999805 × 6371000     		dr = 4760.79345999876m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.10462164-2.11075756) × cos(-1.44833362) × R
    0.00613592000000018 × 0.122156838368435 × 6371000     		do = 4775.3485681199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.10462164-2.11075756) × cos(-1.44908088) × R
    0.00613592000000018 × 0.121415140703967 × 6371000     		du = 4746.35416283486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44833362)-sin(-1.44908088))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.122156838368435-0.121415140703967)×R²
    abs(2.11075756-2.10462164)×0.00074169766446773×R²
    0.00613592000000018×0.00074169766446773×6371000²
    0.00613592000000018×0.00074169766446773×40589641000000     		ar = 22665431.0994751m²