Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8542 / 8182
↖ ↑ ↗
← N  0.219726°
E  7.690430°		 ← 2 443.20 m → N  0.219726°
E  7.712402°		 →
↑
2 443.21 m
↓
↑
2 443.21 m
↓
N  0.197754°
E  7.690430°		 ← 2 443.20 m →
5 969 259 m²		 N  0.197754°
E  7.712402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521392822265625 y=0.499420166015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521392822265625 × 214)
    floor (0.521392822265625 × 16384)
    floor (8542.5)     		tx = 8542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499420166015625 × 214)
    floor (0.499420166015625 × 16384)
    floor (8182.5)     		ty = 8182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8542 / 8182 ti = "14/8542/8182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8542/8182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8542 ÷ 214
    8542 ÷ 16384     		x = 0.5213623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8182 ÷ 214
    8182 ÷ 16384     		y = 0.4993896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5213623046875 × 2 - 1) × π
    0.042724609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.13422332
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4993896484375 × 2 - 1) × π
    0.001220703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.00383495196960449
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13422332} λ = 0.13422332}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00383495196960449))-π/2
    2×atan(1.00384231480694)-π/2
    2×0.78731563468226-π/2
    1.57463126936452-1.57079632675     		φ = 0.00383494
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13422332} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.690430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00383494 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.219726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8542 KachelY 8182 0.13422332 0.00383494 7.690430 0.219726
    Oben rechts KachelX + 1 8543 KachelY 8182 0.13460681 0.00383494 7.712402 0.219726
    Unten links KachelX 8542 KachelY + 1 8183 0.13422332 0.00345145 7.690430 0.197754
    Unten rechts KachelX + 1 8543 KachelY + 1 8183 0.13460681 0.00345145 7.712402 0.197754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00383494-0.00345145) × R
    0.00038349 × 6371000     		dl = 2443.21479m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00383494-0.00345145) × R
    0.00038349 × 6371000     		dr = 2443.21479m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13422332-0.13460681) × cos(0.00383494) × R
    0.000383489999999986 × 0.99999264662661 × 6371000     		do = 2443.19682412929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13422332-0.13460681) × cos(0.00345145) × R
    0.000383489999999986 × 0.999994043752362 × 6371000     		du = 2443.20023760759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00383494)-sin(0.00345145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99999264662661-0.999994043752362)×R²
    abs(0.13460681-0.13422332)×1.39712575131234e-06×R²
    0.000383489999999986×1.39712575131234e-06×6371000²
    0.000383489999999986×1.39712575131234e-06×40589641000000     		ar = 5969258.85867958m²