Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8541 / 8179
↖ ↑ ↗
← N  0.285644°
E  7.668457°		 ← 2 443.25 m → N  0.285644°
E  7.690430°		 →
↑
2 443.21 m
↓
↑
2 443.21 m
↓
N  0.263671°
E  7.668457°		 ← 2 443.25 m →
5 969 386 m²		 N  0.263671°
E  7.690430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521331787109375 y=0.499237060546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521331787109375 × 214)
    floor (0.521331787109375 × 16384)
    floor (8541.5)     		tx = 8541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499237060546875 × 214)
    floor (0.499237060546875 × 16384)
    floor (8179.5)     		ty = 8179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8541 / 8179 ti = "14/8541/8179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8541/8179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8541 ÷ 214
    8541 ÷ 16384     		x = 0.52130126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8179 ÷ 214
    8179 ÷ 16384     		y = 0.49920654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52130126953125 × 2 - 1) × π
    0.0426025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13383982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49920654296875 × 2 - 1) × π
    0.0015869140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.00498543756048584
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13383982} λ = 0.13383982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00498543756048584))-π/2
    2×atan(1.00499788553192)-π/2
    2×0.787890871851839-π/2
    1.57578174370368-1.57079632675     		φ = 0.00498542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13383982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.668457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00498542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.285644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8541 KachelY 8179 0.13383982 0.00498542 7.668457 0.285644
    Oben rechts KachelX + 1 8542 KachelY 8179 0.13422332 0.00498542 7.690430 0.285644
    Unten links KachelX 8541 KachelY + 1 8180 0.13383982 0.00460193 7.668457 0.263671
    Unten rechts KachelX + 1 8542 KachelY + 1 8180 0.13422332 0.00460193 7.690430 0.263671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00498542-0.00460193) × R
    0.00038349 × 6371000     		dl = 2443.21479m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00498542-0.00460193) × R
    0.00038349 × 6371000     		dr = 2443.21479m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13383982-0.13422332) × cos(0.00498542) × R
    0.000383500000000009 × 0.999987572819451 × 6371000     		do = 2443.24813693701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13383982-0.13422332) × cos(0.00460193) × R
    0.000383500000000009 × 0.999989411138825 × 6371000     		du = 2443.25262846321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00498542)-sin(0.00460193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999987572819451-0.999989411138825)×R²
    abs(0.13422332-0.13383982)×1.83831937383694e-06×R²
    0.000383500000000009×1.83831937383694e-06×6371000²
    0.000383500000000009×1.83831937383694e-06×40589641000000     		ar = 5969385.54384315m²