Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 85376 / 46720
↖ ↑ ↗
← N 45.828799°
E 54.492188°		 ← 212.82 m → N 45.828799°
E 54.494934°		 →
↑
212.79 m
↓
↑
212.79 m
↓
N 45.826886°
E 54.492188°		 ← 212.83 m →
45 287 m²		 N 45.826886°
E 54.494934°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.651371002197266 y=0.356449127197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.651371002197266 × 217)
    floor (0.651371002197266 × 131072)
    floor (85376.5)     		tx = 85376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.356449127197266 × 217)
    floor (0.356449127197266 × 131072)
    floor (46720.5)     		ty = 46720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85376 / 46720 ti = "17/85376/46720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85376/46720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85376 ÷ 217
    85376 ÷ 131072     		x = 0.6513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46720 ÷ 217
    46720 ÷ 131072     		y = 0.3564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6513671875 × 2 - 1) × π
    0.302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.95106809
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3564453125 × 2 - 1) × π
    0.287109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.901980703250977
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.95106809} λ = 0.95106809}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.901980703250977))-π/2
    2×atan(2.46447968296184)-π/2
    2×1.18532988297924-π/2
    2.37065976595847-1.57079632675     		φ = 0.79986344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.95106809} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.492188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79986344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.828799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85376 KachelY 46720 0.95106809 0.79986344 54.492188 45.828799
    Oben rechts KachelX + 1 85377 KachelY 46720 0.95111603 0.79986344 54.494934 45.828799
    Unten links KachelX 85376 KachelY + 1 46721 0.95106809 0.79983004 54.492188 45.826886
    Unten rechts KachelX + 1 85377 KachelY + 1 46721 0.95111603 0.79983004 54.494934 45.826886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79986344-0.79983004) × R
    3.33999999999612e-05 × 6371000     		dl = 212.791399999753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79986344-0.79983004) × R
    3.33999999999612e-05 × 6371000     		dr = 212.791399999753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.95106809-0.95111603) × cos(0.79986344) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.69680466499832 × 6371000     		do = 212.822080442424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.95106809-0.95111603) × cos(0.79983004) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.696828621125113 × 6371000     		du = 212.829397260178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79986344)-sin(0.79983004))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.69680466499832-0.696828621125113)×R²
    abs(0.95111603-0.95106809)×2.39561267926236e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39561267926236e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39561267926236e-05×40589641000000     		ar = 45287.4869303595m²