Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 85375 / 46465
↖ ↑ ↗
← N 46.314687°
E 54.489441°		 ← 210.96 m → N 46.314687°
E 54.492188°		 →
↑
210.94 m
↓
↑
210.94 m
↓
N 46.312790°
E 54.489441°		 ← 210.96 m →
44 501 m²		 N 46.312790°
E 54.492188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85375 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.651363372802734 y=0.354503631591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.651363372802734 × 217)
    floor (0.651363372802734 × 131072)
    floor (85375.5)     		tx = 85375
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.354503631591797 × 217)
    floor (0.354503631591797 × 131072)
    floor (46465.5)     		ty = 46465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85375 / 46465 ti = "17/85375/46465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85375/46465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85375 ÷ 217
    85375 ÷ 131072     		x = 0.651359558105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46465 ÷ 217
    46465 ÷ 131072     		y = 0.354499816894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.651359558105469 × 2 - 1) × π
    0.302719116210938 × 3.1415926535     		Λ = 0.95102015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.354499816894531 × 2 - 1) × π
    0.291000366210938 × 3.1415926535     		Φ = 0.914204612654091
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.95102015} λ = 0.95102015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.914204612654091))-π/2
    2×atan(2.49479013803583)-π/2
    2×1.18957005486242-π/2
    2.37914010972485-1.57079632675     		φ = 0.80834378
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.95102015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.489441°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80834378 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.314687°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85375 KachelY 46465 0.95102015 0.80834378 54.489441 46.314687
    Oben rechts KachelX + 1 85376 KachelY 46465 0.95106809 0.80834378 54.492188 46.314687
    Unten links KachelX 85375 KachelY + 1 46466 0.95102015 0.80831067 54.489441 46.312790
    Unten rechts KachelX + 1 85376 KachelY + 1 46466 0.95106809 0.80831067 54.492188 46.312790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80834378-0.80831067) × R
    3.31099999999473e-05 × 6371000     		dl = 210.943809999665m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80834378-0.80831067) × R
    3.31099999999473e-05 × 6371000     		dr = 210.943809999665m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.95102015-0.95106809) × cos(0.80834378) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.690697065638076 × 6371000     		do = 210.956662388688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.95102015-0.95106809) × cos(0.80831067) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.690721008564614 × 6371000     		du = 210.963975174744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80834378)-sin(0.80831067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.690697065638076-0.690721008564614)×R²
    abs(0.95106809-0.95102015)×2.39429265376234e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39429265376234e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39429265376234e-05×40589641000000     		ar = 44500.7734065197m²