Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8537 / 8167
↖ ↑ ↗
← N  0.549308°
E  7.580566°		 ← 2 443.17 m → N  0.549308°
E  7.602539°		 →
↑
2 443.15 m
↓
↑
2 443.15 m
↓
N  0.527336°
E  7.580566°		 ← 2 443.18 m →
5 969 035 m²		 N  0.527336°
E  7.602539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521087646484375 y=0.498504638671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521087646484375 × 214)
    floor (0.521087646484375 × 16384)
    floor (8537.5)     		tx = 8537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.498504638671875 × 214)
    floor (0.498504638671875 × 16384)
    floor (8167.5)     		ty = 8167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8537 / 8167 ti = "14/8537/8167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8537/8167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8537 ÷ 214
    8537 ÷ 16384     		x = 0.52105712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8167 ÷ 214
    8167 ÷ 16384     		y = 0.49847412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52105712890625 × 2 - 1) × π
    0.0421142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13230584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49847412109375 × 2 - 1) × π
    0.0030517578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.00958737992401123
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13230584} λ = 0.13230584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00958737992401123))-π/2
    2×atan(1.00963348607886)-π/2
    2×0.790191779923526-π/2
    1.58038355984705-1.57079632675     		φ = 0.00958723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13230584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.580566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00958723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.549308°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8537 KachelY 8167 0.13230584 0.00958723 7.580566 0.549308
    Oben rechts KachelX + 1 8538 KachelY 8167 0.13268934 0.00958723 7.602539 0.549308
    Unten links KachelX 8537 KachelY + 1 8168 0.13230584 0.00920375 7.580566 0.527336
    Unten rechts KachelX + 1 8538 KachelY + 1 8168 0.13268934 0.00920375 7.602539 0.527336
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00958723-0.00920375) × R
    0.00038348 × 6371000     		dl = 2443.15108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00958723-0.00920375) × R
    0.00038348 × 6371000     		dr = 2443.15108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13230584-0.13268934) × cos(0.00958723) × R
    0.000383499999999981 × 0.999954042862478 × 6371000     		do = 2443.16621391385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13230584-0.13268934) × cos(0.00920375) × R
    0.000383499999999981 × 0.999957645791952 × 6371000     		du = 2443.17501687397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00958723)-sin(0.00920375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999954042862478-0.999957645791952)×R²
    abs(0.13268934-0.13230584)×3.60292947432228e-06×R²
    0.000383499999999981×3.60292947432228e-06×6371000²
    0.000383499999999981×3.60292947432228e-06×40589641000000     		ar = 5969035.00077288m²