Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8536 / 8152
↖ ↑ ↗
← N  0.878872°
E  7.558594°		 ← 2 442.93 m → N  0.878872°
E  7.580566°		 →
↑
2 442.96 m
↓
↑
2 442.96 m
↓
N  0.856902°
E  7.558594°		 ← 2 442.94 m →
5 967 991 m²		 N  0.856902°
E  7.580566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521026611328125 y=0.497589111328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521026611328125 × 214)
    floor (0.521026611328125 × 16384)
    floor (8536.5)     		tx = 8536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.497589111328125 × 214)
    floor (0.497589111328125 × 16384)
    floor (8152.5)     		ty = 8152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8536 / 8152 ti = "14/8536/8152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8536/8152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8536 ÷ 214
    8536 ÷ 16384     		x = 0.52099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8152 ÷ 214
    8152 ÷ 16384     		y = 0.49755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52099609375 × 2 - 1) × π
    0.0419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13192235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49755859375 × 2 - 1) × π
    0.0048828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.015339807878418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13192235} λ = 0.13192235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.015339807878418))-π/2
    2×atan(1.01545806664644)-π/2
    2×0.793067766553878-π/2
    1.58613553310776-1.57079632675     		φ = 0.01533921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13192235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.558594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.01533921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.878872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8536 KachelY 8152 0.13192235 0.01533921 7.558594 0.878872
    Oben rechts KachelX + 1 8537 KachelY 8152 0.13230584 0.01533921 7.580566 0.878872
    Unten links KachelX 8536 KachelY + 1 8153 0.13192235 0.01495576 7.558594 0.856902
    Unten rechts KachelX + 1 8537 KachelY + 1 8153 0.13230584 0.01495576 7.580566 0.856902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.01533921-0.01495576) × R
    0.00038345 × 6371000     		dl = 2442.95995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.01533921-0.01495576) × R
    0.00038345 × 6371000     		dr = 2442.95995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13192235-0.13230584) × cos(0.01533921) × R
    0.000383490000000014 × 0.999882356625021 × 6371000     		do = 2442.9273619664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13192235-0.13230584) × cos(0.01495576) × R
    0.000383490000000014 × 0.999888164705996 × 6371000     		du = 2442.94155235573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.01533921)-sin(0.01495576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999882356625021-0.999888164705996)×R²
    abs(0.13230584-0.13192235)×5.80808097461194e-06×R²
    0.000383490000000014×5.80808097461194e-06×6371000²
    0.000383490000000014×5.80808097461194e-06×40589641000000     		ar = 5967991.11244422m²