Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8535 / 8266
↖ ↑ ↗
← S  1.625759°
E  7.536621°		 ← 2 442.29 m → S  1.625759°
E  7.558594°		 →
↑
2 442.20 m
↓
↑
2 442.20 m
↓
S  1.647722°
E  7.536621°		 ← 2 442.27 m →
5 964 529 m²		 S  1.647722°
E  7.558594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520965576171875 y=0.504547119140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520965576171875 × 214)
    floor (0.520965576171875 × 16384)
    floor (8535.5)     		tx = 8535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504547119140625 × 214)
    floor (0.504547119140625 × 16384)
    floor (8266.5)     		ty = 8266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8535 / 8266 ti = "14/8535/8266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8535/8266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8535 ÷ 214
    8535 ÷ 16384     		x = 0.52093505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8266 ÷ 214
    8266 ÷ 16384     		y = 0.5045166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52093505859375 × 2 - 1) × π
    0.0418701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13153885
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5045166015625 × 2 - 1) × π
    -0.009033203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0283786445750732
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13153885} λ = 0.13153885}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0283786445750732))-π/2
    2×atan(0.97202024691899)-π/2
    2×0.77121074528234-π/2
    1.54242149056468-1.57079632675     		φ = -0.02837484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13153885} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.536621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02837484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.625759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8535 KachelY 8266 0.13153885 -0.02837484 7.536621 -1.625759
    Oben rechts KachelX + 1 8536 KachelY 8266 0.13192235 -0.02837484 7.558594 -1.625759
    Unten links KachelX 8535 KachelY + 1 8267 0.13153885 -0.02875817 7.536621 -1.647722
    Unten rechts KachelX + 1 8536 KachelY + 1 8267 0.13192235 -0.02875817 7.558594 -1.647722
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02837484--0.02875817) × R
    0.000383330000000001 × 6371000     		dl = 2442.19543000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02837484--0.02875817) × R
    0.000383330000000001 × 6371000     		dr = 2442.19543000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13153885-0.13192235) × cos(-0.02837484) × R
    0.000383499999999981 × 0.999597461236629 × 6371000     		do = 2442.29498569392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13153885-0.13192235) × cos(-0.02875817) × R
    0.000383499999999981 × 0.999586512327611 × 6371000     		du = 2442.26823445992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02837484)-sin(-0.02875817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999597461236629-0.999586512327611)×R²
    abs(0.13192235-0.13153885)×1.09489090186488e-05×R²
    0.000383499999999981×1.09489090186488e-05×6371000²
    0.000383499999999981×1.09489090186488e-05×40589641000000     		ar = 5964529.05993947m²