Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8534 / 8267
↖ ↑ ↗
← S  1.647722°
E  7.514649°		 ← 2 442.20 m → S  1.647722°
E  7.536621°		 →
↑
2 442.26 m
↓
↑
2 442.26 m
↓
S  1.669686°
E  7.514649°		 ← 2 442.18 m →
5 964 463 m²		 S  1.669686°
E  7.536621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520904541015625 y=0.504608154296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520904541015625 × 214)
    floor (0.520904541015625 × 16384)
    floor (8534.5)     		tx = 8534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504608154296875 × 214)
    floor (0.504608154296875 × 16384)
    floor (8267.5)     		ty = 8267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8534 / 8267 ti = "14/8534/8267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8534/8267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8534 ÷ 214
    8534 ÷ 16384     		x = 0.5208740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8267 ÷ 214
    8267 ÷ 16384     		y = 0.50457763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5208740234375 × 2 - 1) × π
    0.041748046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13115536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50457763671875 × 2 - 1) × π
    -0.0091552734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0287621397720337
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13115536} λ = 0.13115536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0287621397720337))-π/2
    2×atan(0.971647553290624)-π/2
    2×0.771019075917073-π/2
    1.54203815183415-1.57079632675     		φ = -0.02875817
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13115536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.514649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02875817 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.647722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8534 KachelY 8267 0.13115536 -0.02875817 7.514649 -1.647722
    Oben rechts KachelX + 1 8535 KachelY 8267 0.13153885 -0.02875817 7.536621 -1.647722
    Unten links KachelX 8534 KachelY + 1 8268 0.13115536 -0.02914151 7.514649 -1.669686
    Unten rechts KachelX + 1 8535 KachelY + 1 8268 0.13153885 -0.02914151 7.536621 -1.669686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02875817--0.02914151) × R
    0.000383339999999999 × 6371000     		dl = 2442.25914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02875817--0.02914151) × R
    0.000383339999999999 × 6371000     		dr = 2442.25914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13115536-0.13153885) × cos(-0.02875817) × R
    0.000383490000000014 × 0.999586512327611 × 6371000     		do = 2442.20455080343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13115536-0.13153885) × cos(-0.02914151) × R
    0.000383490000000014 × 0.99957541624609 × 6371000     		du = 2442.17744069294m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02875817)-sin(-0.02914151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999586512327611-0.99957541624609)×R²
    abs(0.13153885-0.13115536)×1.10960815209449e-05×R²
    0.000383490000000014×1.10960815209449e-05×6371000²
    0.000383490000000014×1.10960815209449e-05×40589641000000     		ar = 5964463.35403132m²