Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8534 / 8265
↖ ↑ ↗
← S  1.603794°
E  7.514649°		 ← 2 442.26 m → S  1.603794°
E  7.536621°		 →
↑
2 442.32 m
↓
↑
2 442.32 m
↓
S  1.625759°
E  7.514649°		 ← 2 442.23 m →
5 964 750 m²		 S  1.625759°
E  7.536621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520904541015625 y=0.504486083984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520904541015625 × 214)
    floor (0.520904541015625 × 16384)
    floor (8534.5)     		tx = 8534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504486083984375 × 214)
    floor (0.504486083984375 × 16384)
    floor (8265.5)     		ty = 8265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8534 / 8265 ti = "14/8534/8265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8534/8265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8534 ÷ 214
    8534 ÷ 16384     		x = 0.5208740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8265 ÷ 214
    8265 ÷ 16384     		y = 0.50445556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5208740234375 × 2 - 1) × π
    0.041748046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13115536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50445556640625 × 2 - 1) × π
    -0.0089111328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0279951493781128
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13115536} λ = 0.13115536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0279951493781128))-π/2
    2×atan(0.972393083500981)-π/2
    2×0.771402416733011-π/2
    1.54280483346602-1.57079632675     		φ = -0.02799149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13115536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.514649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02799149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.603794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8534 KachelY 8265 0.13115536 -0.02799149 7.514649 -1.603794
    Oben rechts KachelX + 1 8535 KachelY 8265 0.13153885 -0.02799149 7.536621 -1.603794
    Unten links KachelX 8534 KachelY + 1 8266 0.13115536 -0.02837484 7.514649 -1.625759
    Unten rechts KachelX + 1 8535 KachelY + 1 8266 0.13153885 -0.02837484 7.536621 -1.625759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02799149--0.02837484) × R
    0.000383349999999998 × 6371000     		dl = 2442.32284999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02799149--0.02837484) × R
    0.000383349999999998 × 6371000     		dr = 2442.32284999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13115536-0.13153885) × cos(-0.02799149) × R
    0.000383490000000014 × 0.999608263822668 × 6371000     		do = 2442.25769437785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13115536-0.13153885) × cos(-0.02837484) × R
    0.000383490000000014 × 0.999597461236629 × 6371000     		du = 2442.23130133987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02799149)-sin(-0.02837484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999608263822668-0.999597461236629)×R²
    abs(0.13153885-0.13115536)×1.08025860383609e-05×R²
    0.000383490000000014×1.08025860383609e-05×6371000²
    0.000383490000000014×1.08025860383609e-05×40589641000000     		ar = 5964749.61545436m²