Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8530 / 8243
↖ ↑ ↗
← S  1.120534°
E  7.426758°		 ← 2 442.75 m → S  1.120534°
E  7.448730°		 →
↑
2 442.77 m
↓
↑
2 442.77 m
↓
S  1.142502°
E  7.426758°		 ← 2 442.73 m →
5 967 045 m²		 S  1.142502°
E  7.448730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520660400390625 y=0.503143310546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520660400390625 × 214)
    floor (0.520660400390625 × 16384)
    floor (8530.5)     		tx = 8530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503143310546875 × 214)
    floor (0.503143310546875 × 16384)
    floor (8243.5)     		ty = 8243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8530 / 8243 ti = "14/8530/8243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8530/8243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8530 ÷ 214
    8530 ÷ 16384     		x = 0.5206298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8243 ÷ 214
    8243 ÷ 16384     		y = 0.50311279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5206298828125 × 2 - 1) × π
    0.041259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12962138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50311279296875 × 2 - 1) × π
    -0.0062255859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0195582550449829
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12962138} λ = 0.12962138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0195582550449829))-π/2
    2×atan(0.980631766776988)-π/2
    2×0.775619659276022-π/2
    1.55123931855204-1.57079632675     		φ = -0.01955701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12962138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.426758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01955701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.120534°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8530 KachelY 8243 0.12962138 -0.01955701 7.426758 -1.120534
    Oben rechts KachelX + 1 8531 KachelY 8243 0.13000487 -0.01955701 7.448730 -1.120534
    Unten links KachelX 8530 KachelY + 1 8244 0.12962138 -0.01994043 7.426758 -1.142502
    Unten rechts KachelX + 1 8531 KachelY + 1 8244 0.13000487 -0.01994043 7.448730 -1.142502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01955701--0.01994043) × R
    0.000383419999999999 × 6371000     		dl = 2442.76881999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01955701--0.01994043) × R
    0.000383419999999999 × 6371000     		dr = 2442.76881999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12962138-0.13000487) × cos(-0.01955701) × R
    0.000383489999999986 × 0.999808767775201 × 6371000     		do = 2442.74756859996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12962138-0.13000487) × cos(-0.01994043) × R
    0.000383489999999986 × 0.999801196213214 × 6371000     		du = 2442.72906964773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01955701)-sin(-0.01994043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999808767775201-0.999801196213214)×R²
    abs(0.13000487-0.12962138)×7.571561987052e-06×R²
    0.000383489999999986×7.571561987052e-06×6371000²
    0.000383489999999986×7.571561987052e-06×40589641000000     		ar = 5967045.07447664m²