Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8529 / 8210
↖ ↑ ↗
← S  0.395505°
E  7.404785°		 ← 2 443.22 m → S  0.395505°
E  7.426758°		 →
↑
2 443.15 m
↓
↑
2 443.15 m
↓
S  0.417477°
E  7.404785°		 ← 2 443.21 m →
5 969 148 m²		 S  0.417477°
E  7.426758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520599365234375 y=0.501129150390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520599365234375 × 214)
    floor (0.520599365234375 × 16384)
    floor (8529.5)     		tx = 8529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501129150390625 × 214)
    floor (0.501129150390625 × 16384)
    floor (8210.5)     		ty = 8210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8529 / 8210 ti = "14/8529/8210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8529/8210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8529 ÷ 214
    8529 ÷ 16384     		x = 0.52056884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8210 ÷ 214
    8210 ÷ 16384     		y = 0.5010986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52056884765625 × 2 - 1) × π
    0.0411376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12923788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5010986328125 × 2 - 1) × π
    -0.002197265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.00690291354528809
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12923788} λ = 0.12923788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00690291354528809))-π/2
    2×atan(0.993120856836008)-π/2
    2×0.781946734034921-π/2
    1.56389346806984-1.57079632675     		φ = -0.00690286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12923788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.404785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00690286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.395505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8529 KachelY 8210 0.12923788 -0.00690286 7.404785 -0.395505
    Oben rechts KachelX + 1 8530 KachelY 8210 0.12962138 -0.00690286 7.426758 -0.395505
    Unten links KachelX 8529 KachelY + 1 8211 0.12923788 -0.00728634 7.404785 -0.417477
    Unten rechts KachelX + 1 8530 KachelY + 1 8211 0.12962138 -0.00728634 7.426758 -0.417477
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00690286--0.00728634) × R
    0.000383479999999999 × 6371000     		dl = 2443.15108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00690286--0.00728634) × R
    0.000383479999999999 × 6371000     		dr = 2443.15108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12923788-0.12962138) × cos(-0.00690286) × R
    0.000383500000000009 × 0.999976175356513 × 6371000     		do = 2443.22028976085m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12923788-0.12962138) × cos(-0.00728634) × R
    0.000383500000000009 × 0.999973454742145 × 6371000     		du = 2443.21364254226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00690286)-sin(-0.00728634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999976175356513-0.999973454742145)×R²
    abs(0.12962138-0.12923788)×2.72061436823456e-06×R²
    0.000383500000000009×2.72061436823456e-06×6371000²
    0.000383500000000009×2.72061436823456e-06×40589641000000     		ar = 5969148.24267787m²