Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8522 / 8250
↖ ↑ ↗
← S  1.274309°
E  7.250976°		 ← 2 442.67 m → S  1.274309°
E  7.272949°		 →
↑
2 442.64 m
↓
↑
2 442.64 m
↓
S  1.296276°
E  7.250976°		 ← 2 442.65 m →
5 966 552 m²		 S  1.296276°
E  7.272949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520172119140625 y=0.503570556640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520172119140625 × 214)
    floor (0.520172119140625 × 16384)
    floor (8522.5)     		tx = 8522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503570556640625 × 214)
    floor (0.503570556640625 × 16384)
    floor (8250.5)     		ty = 8250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8522 / 8250 ti = "14/8522/8250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8522/8250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8522 ÷ 214
    8522 ÷ 16384     		x = 0.5201416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8250 ÷ 214
    8250 ÷ 16384     		y = 0.5035400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5201416015625 × 2 - 1) × π
    0.040283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12655341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5035400390625 × 2 - 1) × π
    -0.007080078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0222427214237061
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12655341} λ = 0.12655341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0222427214237061))-π/2
    2×atan(0.978002824002171)-π/2
    2×0.774277719600032-π/2
    1.54855543920006-1.57079632675     		φ = -0.02224089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12655341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.250976°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02224089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.274309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8522 KachelY 8250 0.12655341 -0.02224089 7.250976 -1.274309
    Oben rechts KachelX + 1 8523 KachelY 8250 0.12693691 -0.02224089 7.272949 -1.274309
    Unten links KachelX 8522 KachelY + 1 8251 0.12655341 -0.02262429 7.250976 -1.296276
    Unten rechts KachelX + 1 8523 KachelY + 1 8251 0.12693691 -0.02262429 7.272949 -1.296276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02224089--0.02262429) × R
    0.000383399999999999 × 6371000     		dl = 2442.64139999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02224089--0.02262429) × R
    0.000383399999999999 × 6371000     		dr = 2442.64139999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12655341-0.12693691) × cos(-0.02224089) × R
    0.000383499999999981 × 0.999752681601075 × 6371000     		do = 2442.67423227313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12655341-0.12693691) × cos(-0.02262429) × R
    0.000383499999999981 × 0.999744081667442 × 6371000     		du = 2442.65322024018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02224089)-sin(-0.02262429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999752681601075-0.999744081667442)×R²
    abs(0.12693691-0.12655341)×8.59993363300227e-06×R²
    0.000383499999999981×8.59993363300227e-06×6371000²
    0.000383499999999981×8.59993363300227e-06×40589641000000     		ar = 5966551.61712082m²