Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8511 / 8280
↖ ↑ ↗
← S  1.933227°
E  7.009277°		 ← 2 441.82 m → S  1.933227°
E  7.031250°		 →
↑
2 441.88 m
↓
↑
2 441.88 m
↓
S  1.955187°
E  7.009277°		 ← 2 441.79 m →
5 962 595 m²		 S  1.955187°
E  7.031250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519500732421875 y=0.505401611328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519500732421875 × 214)
    floor (0.519500732421875 × 16384)
    floor (8511.5)     		tx = 8511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505401611328125 × 214)
    floor (0.505401611328125 × 16384)
    floor (8280.5)     		ty = 8280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8511 / 8280 ti = "14/8511/8280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8511/8280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8511 ÷ 214
    8511 ÷ 16384     		x = 0.51947021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8280 ÷ 214
    8280 ÷ 16384     		y = 0.50537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51947021484375 × 2 - 1) × π
    0.0389404296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12233497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50537109375 × 2 - 1) × π
    -0.0107421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0337475773325195
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12233497} λ = 0.12233497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0337475773325195))-π/2
    2×atan(0.966815519991225)-π/2
    2×0.768527576742977-π/2
    1.53705515348595-1.57079632675     		φ = -0.03374117
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12233497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.009277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03374117 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.933227°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8511 KachelY 8280 0.12233497 -0.03374117 7.009277 -1.933227
    Oben rechts KachelX + 1 8512 KachelY 8280 0.12271846 -0.03374117 7.031250 -1.933227
    Unten links KachelX 8511 KachelY + 1 8281 0.12233497 -0.03412445 7.009277 -1.955187
    Unten rechts KachelX + 1 8512 KachelY + 1 8281 0.12271846 -0.03412445 7.031250 -1.955187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03374117--0.03412445) × R
    0.00038328 × 6371000     		dl = 2441.87688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03374117--0.03412445) × R
    0.00038328 × 6371000     		dr = 2441.87688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12233497-0.12271846) × cos(-0.03374117) × R
    0.00038349 × 0.999430820725887 × 6371000     		do = 2441.82416277933m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12233497-0.12271846) × cos(-0.03412445) × R
    0.00038349 × 0.99941781745429 × 6371000     		du = 2441.79239299384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03374117)-sin(-0.03412445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999430820725887-0.99941781745429)×R²
    abs(0.12271846-0.12233497)×1.30032715970341e-05×R²
    0.00038349×1.30032715970341e-05×6371000²
    0.00038349×1.30032715970341e-05×40589641000000     		ar = 5962595.25215775m²