Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8511 / 8257
↖ ↑ ↗
← S  1.428075°
E  7.009277°		 ← 2 442.46 m → S  1.428075°
E  7.031250°		 →
↑
2 442.45 m
↓
↑
2 442.45 m
↓
S  1.450040°
E  7.009277°		 ← 2 442.43 m →
5 965 548 m²		 S  1.450040°
E  7.031250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519500732421875 y=0.503997802734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519500732421875 × 214)
    floor (0.519500732421875 × 16384)
    floor (8511.5)     		tx = 8511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503997802734375 × 214)
    floor (0.503997802734375 × 16384)
    floor (8257.5)     		ty = 8257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8511 / 8257 ti = "14/8511/8257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8511/8257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8511 ÷ 214
    8511 ÷ 16384     		x = 0.51947021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8257 ÷ 214
    8257 ÷ 16384     		y = 0.50396728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51947021484375 × 2 - 1) × π
    0.0389404296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12233497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50396728515625 × 2 - 1) × π
    -0.0079345703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0249271878024292
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12233497} λ = 0.12233497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0249271878024292))-π/2
    2×atan(0.975380929071762)-π/2
    2×0.772935860035295-π/2
    1.54587172007059-1.57079632675     		φ = -0.02492461
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12233497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.009277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02492461 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.428075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8511 KachelY 8257 0.12233497 -0.02492461 7.009277 -1.428075
    Oben rechts KachelX + 1 8512 KachelY 8257 0.12271846 -0.02492461 7.031250 -1.428075
    Unten links KachelX 8511 KachelY + 1 8258 0.12233497 -0.02530798 7.009277 -1.450040
    Unten rechts KachelX + 1 8512 KachelY + 1 8258 0.12271846 -0.02530798 7.031250 -1.450040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02492461--0.02530798) × R
    0.000383370000000001 × 6371000     		dl = 2442.45027000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02492461--0.02530798) × R
    0.000383370000000001 × 6371000     		dr = 2442.45027000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12233497-0.12271846) × cos(-0.02492461) × R
    0.00038349 × 0.999689397988441 × 6371000     		do = 2442.45592257156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12233497-0.12271846) × cos(-0.02530798) × R
    0.00038349 × 0.99967977016681 × 6371000     		du = 2442.43239973535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02492461)-sin(-0.02530798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999689397988441-0.99967977016681)×R²
    abs(0.12271846-0.12233497)×9.62782163038689e-06×R²
    0.00038349×9.62782163038689e-06×6371000²
    0.00038349×9.62782163038689e-06×40589641000000     		ar = 5965548.4739335m²