Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 851 / 964
↖ ↑ ↗
← S 82.853382°
E119.179688°		 ← 4 863.38 m → S 82.853382°
E119.531250°		 →
↑
4 848.59 m
↓
↑
4 848.59 m
↓
S 82.896987°
E119.179688°		 ← 4 833.86 m →
23 508 965 m²		 S 82.896987°
E119.531250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 851 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 964 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.83154296875 y=0.94189453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.83154296875 × 210)
    floor (0.83154296875 × 1024)
    floor (851.5)     		tx = 851
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.94189453125 × 210)
    floor (0.94189453125 × 1024)
    floor (964.5)     		ty = 964
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 851 / 964 ti = "10/851/964"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/851/964.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 851 ÷ 210
    851 ÷ 1024     		x = 0.8310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 964 ÷ 210
    964 ÷ 1024     		y = 0.94140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8310546875 × 2 - 1) × π
    0.662109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.08007795
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.94140625 × 2 - 1) × π
    -0.8828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.77343726441797
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08007795} λ = 2.08007795}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.77343726441797))-π/2
    2×atan(0.062446988608245)-π/2
    2×0.0623660046999839-π/2
    0.124732009399968-1.57079632675     		φ = -1.44606432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08007795} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.179688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44606432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.853382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 851 KachelY 964 2.08007795 -1.44606432 119.179688 -82.853382
    Oben rechts KachelX + 1 852 KachelY 964 2.08621387 -1.44606432 119.531250 -82.853382
    Unten links KachelX 851 KachelY + 1 965 2.08007795 -1.44682536 119.179688 -82.896987
    Unten rechts KachelX + 1 852 KachelY + 1 965 2.08621387 -1.44682536 119.531250 -82.896987
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44606432--1.44682536) × R
    0.000761039999999991 × 6371000     		dl = 4848.58583999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44606432--1.44682536) × R
    0.000761039999999991 × 6371000     		dr = 4848.58583999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08007795-2.08621387) × cos(-1.44606432) × R
    0.00613591999999974 × 0.124408826678382 × 6371000     		do = 4863.38317424527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08007795-2.08621387) × cos(-1.44682536) × R
    0.00613591999999974 × 0.123653663210201 × 6371000     		du = 4833.86236448431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44606432)-sin(-1.44682536))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.124408826678382-0.123653663210201)×R²
    abs(2.08621387-2.08007795)×0.000755163468181094×R²
    0.00613591999999974×0.000755163468181094×6371000²
    0.00613591999999974×0.000755163468181094×40589641000000     		ar = 23508964.8376907m²