Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8507 / 8284
↖ ↑ ↗
← S  2.021065°
E  6.921387°		 ← 2 441.69 m → S  2.021065°
E  6.943359°		 →
↑
2 441.69 m
↓
↑
2 441.69 m
↓
S  2.043024°
E  6.921387°		 ← 2 441.66 m →
5 961 811 m²		 S  2.043024°
E  6.943359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519256591796875 y=0.505645751953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519256591796875 × 214)
    floor (0.519256591796875 × 16384)
    floor (8507.5)     		tx = 8507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505645751953125 × 214)
    floor (0.505645751953125 × 16384)
    floor (8284.5)     		ty = 8284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8507 / 8284 ti = "14/8507/8284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8507/8284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8507 ÷ 214
    8507 ÷ 16384     		x = 0.51922607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8284 ÷ 214
    8284 ÷ 16384     		y = 0.505615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51922607421875 × 2 - 1) × π
    0.0384521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12080099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.505615234375 × 2 - 1) × π
    -0.01123046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0352815581203613
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12080099} λ = 0.12080099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0352815581203613))-π/2
    2×atan(0.965333580482135)-π/2
    2×0.767761043038105-π/2
    1.53552208607621-1.57079632675     		φ = -0.03527424
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12080099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.921387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03527424 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.021065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8507 KachelY 8284 0.12080099 -0.03527424 6.921387 -2.021065
    Oben rechts KachelX + 1 8508 KachelY 8284 0.12118448 -0.03527424 6.943359 -2.021065
    Unten links KachelX 8507 KachelY + 1 8285 0.12080099 -0.03565749 6.921387 -2.043024
    Unten rechts KachelX + 1 8508 KachelY + 1 8285 0.12118448 -0.03565749 6.943359 -2.043024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03527424--0.03565749) × R
    0.000383250000000002 × 6371000     		dl = 2441.68575000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03527424--0.03565749) × R
    0.000383250000000002 × 6371000     		dr = 2441.68575000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12080099-0.12118448) × cos(-0.03527424) × R
    0.00038349 × 0.999377928502404 × 6371000     		do = 2441.69493571664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12080099-0.12118448) × cos(-0.03565749) × R
    0.00038349 × 0.999364339059006 × 6371000     		du = 2441.66173378754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03527424)-sin(-0.03565749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999377928502404-0.999364339059006)×R²
    abs(0.12118448-0.12080099)×1.35894433971329e-05×R²
    0.00038349×1.35894433971329e-05×6371000²
    0.00038349×1.35894433971329e-05×40589641000000     		ar = 5961811.26902076m²