Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8503 / 8153
↖ ↑ ↗
← N  0.856902°
E  6.833496°		 ← 2 442.94 m → N  0.856902°
E  6.855469°		 →
↑
2 443.02 m
↓
↑
2 443.02 m
↓
N  0.834931°
E  6.833496°		 ← 2 442.96 m →
5 968 181 m²		 N  0.834931°
E  6.855469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8503 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519012451171875 y=0.497650146484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519012451171875 × 214)
    floor (0.519012451171875 × 16384)
    floor (8503.5)     		tx = 8503
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.497650146484375 × 214)
    floor (0.497650146484375 × 16384)
    floor (8153.5)     		ty = 8153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8503 / 8153 ti = "14/8503/8153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8503/8153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8503 ÷ 214
    8503 ÷ 16384     		x = 0.51898193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8153 ÷ 214
    8153 ÷ 16384     		y = 0.49761962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51898193359375 × 2 - 1) × π
    0.0379638671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11926701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49761962890625 × 2 - 1) × π
    0.0047607421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0149563126814575
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11926701} λ = 0.11926701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0149563126814575))-π/2
    2×atan(1.01506871801661)-π/2
    2×0.792876040954029-π/2
    1.58575208190806-1.57079632675     		φ = 0.01495576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11926701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.833496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.01495576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.856902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8503 KachelY 8153 0.11926701 0.01495576 6.833496 0.856902
    Oben rechts KachelX + 1 8504 KachelY 8153 0.11965050 0.01495576 6.855469 0.856902
    Unten links KachelX 8503 KachelY + 1 8154 0.11926701 0.01457230 6.833496 0.834931
    Unten rechts KachelX + 1 8504 KachelY + 1 8154 0.11965050 0.01457230 6.855469 0.834931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.01495576-0.01457230) × R
    0.00038346 × 6371000     		dl = 2443.02366m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.01495576-0.01457230) × R
    0.00038346 × 6371000     		dr = 2443.02366m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11926701-0.11965050) × cos(0.01495576) × R
    0.00038349 × 0.999888164705996 × 6371000     		do = 2442.94155235565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11926701-0.11965050) × cos(0.01457230) × R
    0.00038349 × 0.999893825915231 × 6371000     		du = 2442.95538390578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.01495576)-sin(0.01457230))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999888164705996-0.999893825915231)×R²
    abs(0.11965050-0.11926701)×5.66120923539692e-06×R²
    0.00038349×5.66120923539692e-06×6371000²
    0.00038349×5.66120923539692e-06×40589641000000     		ar = 5968180.98093499m²