Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8492 / 8493
↖ ↑ ↗
← S  6.599131°
E  6.591797°		 ← 2 427.03 m → S  6.599131°
E  6.613769°		 →
↑
2 426.97 m
↓
↑
2 426.97 m
↓
S  6.620957°
E  6.591797°		 ← 2 426.92 m →
5 890 189 m²		 S  6.620957°
E  6.613769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8492 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518341064453125 y=0.518402099609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518341064453125 × 214)
    floor (0.518341064453125 × 16384)
    floor (8492.5)     		tx = 8492
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.518402099609375 × 214)
    floor (0.518402099609375 × 16384)
    floor (8493.5)     		ty = 8493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8492 / 8493 ti = "14/8492/8493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8492/8493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8492 ÷ 214
    8492 ÷ 16384     		x = 0.518310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8493 ÷ 214
    8493 ÷ 16384     		y = 0.51837158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518310546875 × 2 - 1) × π
    0.03662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11504856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51837158203125 × 2 - 1) × π
    -0.0367431640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.115432054285095
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11504856} λ = 0.11504856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.115432054285095))-π/2
    2×atan(0.89098110852885)-π/2
    2×0.727809884373226-π/2
    1.45561976874645-1.57079632675     		φ = -0.11517656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11504856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.591797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11517656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.599131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8492 KachelY 8493 0.11504856 -0.11517656 6.591797 -6.599131
    Oben rechts KachelX + 1 8493 KachelY 8493 0.11543205 -0.11517656 6.613769 -6.599131
    Unten links KachelX 8492 KachelY + 1 8494 0.11504856 -0.11555750 6.591797 -6.620957
    Unten rechts KachelX + 1 8493 KachelY + 1 8494 0.11543205 -0.11555750 6.613769 -6.620957
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11517656--0.11555750) × R
    0.000380939999999996 × 6371000     		dl = 2426.96873999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11517656--0.11555750) × R
    0.000380939999999996 × 6371000     		dr = 2426.96873999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11504856-0.11543205) × cos(-0.11517656) × R
    0.00038349 × 0.993374509155255 × 6371000     		do = 2427.02729277711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11504856-0.11543205) × cos(-0.11555750) × R
    0.00038349 × 0.9933306586621 × 6371000     		du = 2426.92015660369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11517656)-sin(-0.11555750))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993374509155255-0.9933306586621)×R²
    abs(0.11543205-0.11504856)×4.38504931548067e-05×R²
    0.00038349×4.38504931548067e-05×6371000²
    0.00038349×4.38504931548067e-05×40589641000000     		ar = 5890189.43385465m²