Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8491 / 8494
↖ ↑ ↗
← S  6.620957°
E  6.569824°		 ← 2 426.98 m → S  6.620957°
E  6.591797°		 →
↑
2 426.91 m
↓
↑
2 426.91 m
↓
S  6.642783°
E  6.569824°		 ← 2 426.88 m →
5 889 928 m²		 S  6.642783°
E  6.591797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8491 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8494 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518280029296875 y=0.518463134765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518280029296875 × 214)
    floor (0.518280029296875 × 16384)
    floor (8491.5)     		tx = 8491
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.518463134765625 × 214)
    floor (0.518463134765625 × 16384)
    floor (8494.5)     		ty = 8494
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8491 / 8494 ti = "14/8491/8494"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8491/8494.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8491 ÷ 214
    8491 ÷ 16384     		x = 0.51824951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8494 ÷ 214
    8494 ÷ 16384     		y = 0.5184326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51824951171875 × 2 - 1) × π
    0.0364990234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11466506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5184326171875 × 2 - 1) × π
    -0.036865234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.115815549482056
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11466506} λ = 0.11466506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.115815549482056))-π/2
    2×atan(0.890639487062429)-π/2
    2×0.727619411398567-π/2
    1.45523882279713-1.57079632675     		φ = -0.11555750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11466506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.569824°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11555750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.620957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8491 KachelY 8494 0.11466506 -0.11555750 6.569824 -6.620957
    Oben rechts KachelX + 1 8492 KachelY 8494 0.11504856 -0.11555750 6.591797 -6.620957
    Unten links KachelX 8491 KachelY + 1 8495 0.11466506 -0.11593843 6.569824 -6.642783
    Unten rechts KachelX + 1 8492 KachelY + 1 8495 0.11504856 -0.11593843 6.591797 -6.642783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11555750--0.11593843) × R
    0.000380930000000002 × 6371000     		dl = 2426.90503000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11555750--0.11593843) × R
    0.000380930000000002 × 6371000     		dr = 2426.90503000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11466506-0.11504856) × cos(-0.11555750) × R
    0.000383499999999995 × 0.9933306586621 × 6371000     		do = 2426.98344169992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11466506-0.11504856) × cos(-0.11593843) × R
    0.000383499999999995 × 0.993286665178276 × 6371000     		du = 2426.87595336675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11555750)-sin(-0.11593843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9933306586621-0.993286665178276)×R²
    abs(0.11504856-0.11466506)×4.39934838246669e-05×R²
    0.000383499999999995×4.39934838246669e-05×6371000²
    0.000383499999999995×4.39934838246669e-05×40589641000000     		ar = 5889927.96162276m²