Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8490 / 8491
↖ ↑ ↗
← S  6.555475°
E  6.547852°		 ← 2 427.24 m → S  6.555475°
E  6.569824°		 →
↑
2 427.22 m
↓
↑
2 427.22 m
↓
S  6.577303°
E  6.547852°		 ← 2 427.13 m →
5 891 326 m²		 S  6.577303°
E  6.569824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8490 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518218994140625 y=0.518280029296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518218994140625 × 214)
    floor (0.518218994140625 × 16384)
    floor (8490.5)     		tx = 8490
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.518280029296875 × 214)
    floor (0.518280029296875 × 16384)
    floor (8491.5)     		ty = 8491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8490 / 8491 ti = "14/8490/8491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8490/8491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8490 ÷ 214
    8490 ÷ 16384     		x = 0.5181884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8491 ÷ 214
    8491 ÷ 16384     		y = 0.51824951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5181884765625 × 2 - 1) × π
    0.036376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11428157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51824951171875 × 2 - 1) × π
    -0.0364990234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.114665063891174
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11428157} λ = 0.11428157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.114665063891174))-π/2
    2×atan(0.891664744617899)-π/2
    2×0.728190855479432-π/2
    1.45638171095886-1.57079632675     		φ = -0.11441462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11428157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.547852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11441462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.555475°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8490 KachelY 8491 0.11428157 -0.11441462 6.547852 -6.555475
    Oben rechts KachelX + 1 8491 KachelY 8491 0.11466506 -0.11441462 6.569824 -6.555475
    Unten links KachelX 8490 KachelY + 1 8492 0.11428157 -0.11479560 6.547852 -6.577303
    Unten rechts KachelX + 1 8491 KachelY + 1 8492 0.11466506 -0.11479560 6.569824 -6.577303
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11441462--0.11479560) × R
    0.000380980000000003 × 6371000     		dl = 2427.22358000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11441462--0.11479560) × R
    0.000380980000000003 × 6371000     		dr = 2427.22358000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11428157-0.11466506) × cos(-0.11441462) × R
    0.00038349 × 0.993461784523668 × 6371000     		do = 2427.24052524802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11428157-0.11466506) × cos(-0.11479560) × R
    0.00038349 × 0.993418217785461 × 6371000     		du = 2427.13408234888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11441462)-sin(-0.11479560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993461784523668-0.993418217785461)×R²
    abs(0.11466506-0.11428157)×4.35667382068239e-05×R²
    0.00038349×4.35667382068239e-05×6371000²
    0.00038349×4.35667382068239e-05×40589641000000     		ar = 5891326.32811462m²