Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8490 / 8489
↖ ↑ ↗
← S  6.511815°
E  6.547852°		 ← 2 427.45 m → S  6.511815°
E  6.569824°		 →
↑
2 427.41 m
↓
↑
2 427.41 m
↓
S  6.533645°
E  6.547852°		 ← 2 427.35 m →
5 892 305 m²		 S  6.533645°
E  6.569824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8490 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518218994140625 y=0.518157958984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518218994140625 × 214)
    floor (0.518218994140625 × 16384)
    floor (8490.5)     		tx = 8490
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.518157958984375 × 214)
    floor (0.518157958984375 × 16384)
    floor (8489.5)     		ty = 8489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8490 / 8489 ti = "14/8490/8489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8490/8489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8490 ÷ 214
    8490 ÷ 16384     		x = 0.5181884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8489 ÷ 214
    8489 ÷ 16384     		y = 0.51812744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5181884765625 × 2 - 1) × π
    0.036376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11428157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51812744140625 × 2 - 1) × π
    -0.0362548828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.113898073497253
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11428157} λ = 0.11428157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.113898073497253))-π/2
    2×atan(0.892348905250396)-π/2
    2×0.728571859946286-π/2
    1.45714371989257-1.57079632675     		φ = -0.11365261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11428157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.547852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11365261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.511815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8490 KachelY 8489 0.11428157 -0.11365261 6.547852 -6.511815
    Oben rechts KachelX + 1 8491 KachelY 8489 0.11466506 -0.11365261 6.569824 -6.511815
    Unten links KachelX 8490 KachelY + 1 8490 0.11428157 -0.11403362 6.547852 -6.533645
    Unten rechts KachelX + 1 8491 KachelY + 1 8490 0.11466506 -0.11403362 6.569824 -6.533645
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11365261--0.11403362) × R
    0.000381010000000001 × 6371000     		dl = 2427.41471000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11365261--0.11403362) × R
    0.000381010000000001 × 6371000     		dr = 2427.41471000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11428157-0.11466506) × cos(-0.11365261) × R
    0.00038349 × 0.993548491073892 × 6371000     		do = 2427.45236797392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11428157-0.11466506) × cos(-0.11403362) × R
    0.00038349 × 0.993505209340843 × 6371000     		du = 2427.3466214036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11365261)-sin(-0.11403362))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993548491073892-0.993505209340843)×R²
    abs(0.11466506-0.11428157)×4.32817330484614e-05×R²
    0.00038349×4.32817330484614e-05×6371000²
    0.00038349×4.32817330484614e-05×40589641000000     		ar = 5892305.31173551m²