Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8483 / 8500
↖ ↑ ↗
← S  6.751896°
E  6.394043°		 ← 2 426.33 m → S  6.751896°
E  6.416016°		 →
↑
2 426.27 m
↓
↑
2 426.27 m
↓
S  6.773716°
E  6.394043°		 ← 2 426.22 m →
5 886 802 m²		 S  6.773716°
E  6.416016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8483 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517791748046875 y=0.518829345703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517791748046875 × 214)
    floor (0.517791748046875 × 16384)
    floor (8483.5)     		tx = 8483
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.518829345703125 × 214)
    floor (0.518829345703125 × 16384)
    floor (8500.5)     		ty = 8500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8483 / 8500 ti = "14/8483/8500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8483/8500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8483 ÷ 214
    8483 ÷ 16384     		x = 0.51776123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8500 ÷ 214
    8500 ÷ 16384     		y = 0.518798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51776123046875 × 2 - 1) × π
    0.0355224609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11159710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.518798828125 × 2 - 1) × π
    -0.03759765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.118116520663818
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11159710} λ = 0.11159710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.118116520663818))-π/2
    2×atan(0.888592507193342)-π/2
    2×0.726476751366483-π/2
    1.45295350273297-1.57079632675     		φ = -0.11784282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11159710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.394043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11784282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.751896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8483 KachelY 8500 0.11159710 -0.11784282 6.394043 -6.751896
    Oben rechts KachelX + 1 8484 KachelY 8500 0.11198060 -0.11784282 6.416016 -6.751896
    Unten links KachelX 8483 KachelY + 1 8501 0.11159710 -0.11822365 6.394043 -6.773716
    Unten rechts KachelX + 1 8484 KachelY + 1 8501 0.11198060 -0.11822365 6.416016 -6.773716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11784282--0.11822365) × R
    0.000380829999999999 × 6371000     		dl = 2426.26792999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11784282--0.11822365) × R
    0.000380829999999999 × 6371000     		dr = 2426.26792999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11159710-0.11198060) × cos(-0.11784282) × R
    0.000383499999999995 × 0.99306456645326 × 6371000     		do = 2426.33330432704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11159710-0.11198060) × cos(-0.11822365) × R
    0.000383499999999995 × 0.993019720158085 × 6371000     		du = 2426.22373233823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11784282)-sin(-0.11822365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99306456645326-0.993019720158085)×R²
    abs(0.11198060-0.11159710)×4.48462951746498e-05×R²
    0.000383499999999995×4.48462951746498e-05×6371000²
    0.000383499999999995×4.48462951746498e-05×40589641000000     		ar = 5886801.82942597m²