Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8470 / 8238
↖ ↑ ↗
← S  1.010690°
E  6.108398°		 ← 2 442.90 m → S  1.010690°
E  6.130371°		 →
↑
2 442.90 m
↓
↑
2 442.90 m
↓
S  1.032659°
E  6.108398°		 ← 2 442.88 m →
5 967 727 m²		 S  1.032659°
E  6.130371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8470 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516998291015625 y=0.502838134765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516998291015625 × 214)
    floor (0.516998291015625 × 16384)
    floor (8470.5)     		tx = 8470
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502838134765625 × 214)
    floor (0.502838134765625 × 16384)
    floor (8238.5)     		ty = 8238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8470 / 8238 ti = "14/8470/8238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8470/8238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8470 ÷ 214
    8470 ÷ 16384     		x = 0.5169677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8238 ÷ 214
    8238 ÷ 16384     		y = 0.5028076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5169677734375 × 2 - 1) × π
    0.033935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10661166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5028076171875 × 2 - 1) × π
    -0.005615234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0176407790601807
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10661166} λ = 0.10661166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0176407790601807))-π/2
    2×atan(0.982513908543861)-π/2
    2×0.776578231311689-π/2
    1.55315646262338-1.57079632675     		φ = -0.01763986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10661166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.108398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01763986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.010690°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8470 KachelY 8238 0.10661166 -0.01763986 6.108398 -1.010690
    Oben rechts KachelX + 1 8471 KachelY 8238 0.10699516 -0.01763986 6.130371 -1.010690
    Unten links KachelX 8470 KachelY + 1 8239 0.10661166 -0.01802330 6.108398 -1.032659
    Unten rechts KachelX + 1 8471 KachelY + 1 8239 0.10699516 -0.01802330 6.130371 -1.032659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01763986--0.01802330) × R
    0.000383439999999999 × 6371000     		dl = 2442.89623999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01763986--0.01802330) × R
    0.000383439999999999 × 6371000     		dr = 2442.89623999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10661166-0.10699516) × cos(-0.01763986) × R
    0.000383500000000009 × 0.999844421703859 × 6371000     		do = 2442.89837889403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10661166-0.10699516) × cos(-0.01802330) × R
    0.000383500000000009 × 0.999837584725199 × 6371000     		du = 2442.88167425106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01763986)-sin(-0.01802330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999844421703859-0.999837584725199)×R²
    abs(0.10699516-0.10661166)×6.83697865955235e-06×R²
    0.000383500000000009×6.83697865955235e-06×6371000²
    0.000383500000000009×6.83697865955235e-06×40589641000000     		ar = 5967726.93376526m²